次の不定積分を計算します。 $\int \frac{x^2 + x - 1}{x(x+1)(x+2)} dx$

はい、承知いたしました。部分分数分解による積分の問題ですね。2つの問題がありますので、それぞれ解いていきましょう。

**問題1**

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{x^2 + x - 1}{x(x+1)(x+2)} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^2 + x - 1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $x(x+1)(x+2)$ を掛けると、

$x^2 + x - 1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$

$x^2 + x - 1 = A(x^2+3x+2) + B(x^2+2x) + C(x^2+x)$

$x^2 + x - 1 = (A+B+C)x^2 + (3A+2B+C)x + 2A$

係数を比較すると、

$A+B+C = 1$

$3A+2B+C = 1$

$2A = -1$

したがって、$A = -\frac{1}{2}$ です。

$A+B+C = 1$ に代入して、$-\frac{1}{2} + B + C = 1$ より、$B+C = \frac{3}{2}$

$3A+2B+C = 1$ に代入して、$-\frac{3}{2} + 2B + C = 1$ より、$2B+C = \frac{5}{2}$

$2B+C - (B+C) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$ より、$B = 1$

$B+C = \frac{3}{2}$ に代入して、$1+C = \frac{3}{2}$ より、$C = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{x^2 + x - 1}{x(x+1)(x+2)} = -\frac{1}{2x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}$

積分すると、

$\int \frac{x^2 + x - 1}{x(x+1)(x+2)} dx = \int \left(-\frac{1}{2x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}\right) dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x| + \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x+2| + C$

$= \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x+2}{x}\right| + C$

$= \ln|x+1| + \ln\sqrt{\left|\frac{x+2}{x}\right|} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x+1| + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+2}{x}\right| + C$

**問題2**

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $x^2(x+1)$ を掛けると、

$1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$

$1 = A(x^2+x) + B(x+1) + Cx^2$

$1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$

係数を比較すると、

$A+C = 0$

$A+B = 0$

$B = 1$

したがって、$B = 1$ です。

$A+B = 0$ に代入して、$A+1 = 0$ より、$A = -1$

$A+C = 0$ に代入して、$-1+C = 0$ より、$C = 1$

したがって、

$\frac{1}{x^2(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}$

積分すると、

$\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx = \int \left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx + \int \frac{1}{x+1} dx$

$= -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x+1| + C$

$= \ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{1}{x} + C$