与えられた2つの積分を部分分数分解を用いて計算します。 (1) $\int \frac{x^2+x-1}{x(x+1)(x+2)} dx$ (2) $\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を部分分数分解を用いて計算します。

(1) $\int \frac{x^2+x-1}{x(x+1)(x+2)} dx$

(2) $\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2+x-1}{x(x+1)(x+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{x^2+x-1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $x(x+1)(x+2)$ をかけると

$x^2+x-1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$

$x=0$ のとき、 $-1 = 2A$ より $A = -\frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき、 $-1 = -B$ より $B = 1$

$x=-2$ のとき、 $1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$

よって、$\frac{x^2+x-1}{x(x+1)(x+2)} = -\frac{1}{2x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}$

したがって、

$\int \frac{x^2+x-1}{x(x+1)(x+2)} dx = \int (-\frac{1}{2x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}) dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x| + \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x+2| + C$

$= \ln\frac{|x+1|}{\sqrt{|x(x+2)|}} + C$

(2) $\frac{1}{x^2(x+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $x^2(x+1)$ をかけると

$1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$

$x=0$ のとき、 $1 = B$ より $B=1$

$x=-1$ のとき、 $1 = C$ より $C=1$

係数比較より、$A+C = 0$ より、$A = -1$

よって、$\frac{1}{x^2(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx = \int (-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}) dx$

$= -\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2} dx + \int \frac{1}{x+1} dx$

$= -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x+1| + C$

$= \ln|\frac{x+1}{x}| - \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln\frac{|x+1|}{\sqrt{|x(x+2)|}} + C$

(2) $\ln|\frac{x+1}{x}| - \frac{1}{x} + C$