三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$b$の長さを求める。余弦定理は

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

である。与えられた値を代入すると

$b^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cos 30^\circ$

$b^2 = 4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4(1+\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2(1+\sqrt{3})\sqrt{3}$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3} + 3)$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$b^2 = 2$

よって、$b = \sqrt{2}$である。

次に、正弦定理を用いて角$A$を求める。正弦定理は

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

である。与えられた値を代入すると

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\sin A = \frac{2 \sin 30^\circ}{\sqrt{2}}$

$\sin A = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$A = 45^\circ$または$A=135^\circ$である。

$A=135^\circ$の場合、$A+B = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ < 180^\circ$なので、角$C$が存在し、$C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$となる。

$A=45^\circ$の場合、$A+B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ < 180^\circ$なので、角$C$が存在し、$C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$となる。

辺の長さの関係から$a < c$なので、$A < C$である必要がある。

$A = 135^\circ$のとき、$C = 15^\circ$なので、$A > C$となり不適。

したがって、$A = 45^\circ$、$C = 105^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$b = \sqrt{2}$, $A = 45^\circ$, $C = 105^\circ$