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問題457は、次の2つの問題に分かれています。 (1) 2直線 $y=\frac{3}{2}x$ と $y=-5x$ のなす角 $\theta$ を求めます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。 (2) 2直線 $y=2x$ と $3x+y-2=0$ のなす角 $\theta$ を求めます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。 問題458は、点(0,1)を通り、直線 $y=\frac{1}{2}x - 1$ と $\frac{\pi}{3}$ の角をなす直線の方程式を求める問題です。

幾何学直線角度傾き三角関数
2025/8/16

1. 問題の内容

問題457は、次の2つの問題に分かれています。
(1) 2直線 y=32xy=\frac{3}{2}x と y=−5xy=-5x のなす角 θ\theta を求めます。ただし、0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2} とします。
(2) 2直線 y=2xy=2x と 3x+y−2=03x+y-2=0 のなす角 θ\theta を求めます。ただし、0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2} とします。
問題458は、点(0,1)を通り、直線 y=12x−1y=\frac{1}{2}x - 1 と π3\frac{\pi}{3} の角をなす直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題457 (1)
2直線の傾きをそれぞれ m1=32m_1 = \frac{3}{2}, m2=−5m_2 = -5 とします。
tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| を用いて tan⁡θ\tan \theta を計算します。
tan⁡θ=∣32−(−5)1+(32)(−5)∣=∣1321−152∣=∣132−132∣=∣−1∣=1\tan \theta = \left| \frac{\frac{3}{2} - (-5)}{1 + (\frac{3}{2})(-5)} \right| = \left| \frac{\frac{13}{2}}{1 - \frac{15}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{13}{2}}{-\frac{13}{2}} \right| = |-1| = 1
0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2} であるので、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}となります。
問題457 (2)
2直線の傾きをそれぞれ m1=2m_1 = 2, m2=−3m_2 = -3 とします。
tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| を用いて tan⁡θ\tan \theta を計算します。
tan⁡θ=∣2−(−3)1+(2)(−3)∣=∣51−6∣=∣5−5∣=∣−1∣=1\tan \theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + (2)(-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1
0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2} であるので、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}となります。
問題458
求める直線の方程式を y=mx+1y = mx + 1 とします。（点(0,1)を通るため切片は1）
直線 y=12x−1y = \frac{1}{2}x - 1 の傾きは 12\frac{1}{2} です。
tan⁡π3=3\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} であるので、
∣m−121+12m∣=3\left| \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} \right| = \sqrt{3}
m−121+12m=±3 \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} = \pm \sqrt{3}
m−12=±3(1+12m)m - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{3} (1 + \frac{1}{2}m)
m−12=3+32mm - \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}m または m−12=−3−32mm - \frac{1}{2} = -\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}m
m−32m=3+12m - \frac{\sqrt{3}}{2}m = \sqrt{3} + \frac{1}{2} または m+32m=−3+12m + \frac{\sqrt{3}}{2}m = -\sqrt{3} + \frac{1}{2}
m(1−32)=3+12m (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \frac{1}{2} または m(1+32)=−3+12m (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} + \frac{1}{2}
m=3+121−32=23+12−3=(23+1)(2+3)(2−3)(2+3)=43+6+2+34−3=53+8m = \frac{\sqrt{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} + 1)(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} + 6 + 2 + \sqrt{3}}{4-3} = 5\sqrt{3} + 8
または
m=−3+121+32=−23+12+3=(−23+1)(2−3)(2+3)(2−3)=−43+6+2−34−3=−53+8m = \frac{-\sqrt{3} + \frac{1}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-2\sqrt{3} + 1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(-2\sqrt{3} + 1)(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{-4\sqrt{3} + 6 + 2 - \sqrt{3}}{4-3} = -5\sqrt{3} + 8
よって、直線の方程式は y=(8+53)x+1y = (8 + 5\sqrt{3})x + 1 と y=(8−53)x+1y = (8 - 5\sqrt{3})x + 1

3. 最終的な答え

問題457 (1): θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}
問題457 (2): θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}
問題458: y=(8+53)x+1y = (8 + 5\sqrt{3})x + 1, y=(8−53)x+1y = (8 - 5\sqrt{3})x + 1