46番から48番の問題を解きます。 46: 次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 (1) 頂点が点(1, -2)で、点(2, -3)を通る。 (2) 軸が直線 $x=1$ で、2点(3, -1), (0, 2)を通る。 (3) $x=-2$ で最大値5をとり、$x=-1$で$y=0$となる。 (4) 放物線 $y=-3x^2$ を平行移動したもので、頂点の座標が(-2, 3)である。 47: $x=3$ で最小値をとり、2点 (0, 5), (5, 0) を通るような放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 48: 2次関数のグラフが $x$ 軸と2点 (-2, 0), (1, 0)で交わり、点(0, -4)を通るとき、その2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

46番から48番の問題を解きます。

46: 次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

(1) 頂点が点(1, -2)で、点(2, -3)を通る。

(2) 軸が直線 $x=1$ で、2点(3, -1), (0, 2)を通る。

(3) $x=-2$ で最大値5をとり、$x=-1$で$y=0$となる。

(4) 放物線 $y=-3x^2$ を平行移動したもので、頂点の座標が(-2, 3)である。

47: $x=3$ で最小値をとり、2点 (0, 5), (5, 0) を通るような放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

48: 2次関数のグラフが $x$ 軸と2点 (-2, 0), (1, 0)で交わり、点(0, -4)を通るとき、その2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

46 (1)

頂点が (1, -2) なので、求める2次関数は $y=a(x-1)^2 - 2$ と表せる。

このグラフが点(2, -3)を通るので、 $x=2, y=-3$ を代入すると、

$-3 = a(2-1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

よって、求める2次関数は $y=-(x-1)^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$

46 (2)

軸が直線 $x=1$ なので、求める2次関数は $y=a(x-1)^2 + q$ と表せる。

このグラフが点(3, -1), (0, 2)を通るので、

$-1 = a(3-1)^2 + q = 4a + q$

$2 = a(0-1)^2 + q = a + q$

この連立方程式を解く。

$4a + q = -1$

$a + q = 2$

上の式から下の式を引くと

$3a = -3$

$a = -1$

$q = 2 - a = 2 - (-1) = 3$

よって、求める2次関数は $y=-(x-1)^2 + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 3 = -x^2 + 2x - 1 + 3 = -x^2 + 2x + 2$

46 (3)

$x=-2$ で最大値5をとるので、求める2次関数は $y=a(x+2)^2 + 5$ と表せる。ただし、$a < 0$。

このグラフが $x=-1$ で $y=0$ となるので、

$0 = a(-1+2)^2 + 5$

$0 = a + 5$

$a = -5$

よって、求める2次関数は $y=-5(x+2)^2 + 5 = -5(x^2 + 4x + 4) + 5 = -5x^2 - 20x - 20 + 5 = -5x^2 - 20x - 15$

46 (4)

放物線 $y=-3x^2$ を平行移動したもので、頂点の座標が(-2, 3)なので、求める2次関数は $y=-3(x+2)^2 + 3$

$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 3 = -3x^2 - 12x - 12 + 3 = -3x^2 - 12x - 9$

47

$x=3$ で最小値をとるので、求める2次関数は $y=a(x-3)^2 + q$ と表せる。ただし、$a > 0$。

このグラフが点 (0, 5), (5, 0) を通るので、

$5 = a(0-3)^2 + q = 9a + q$

$0 = a(5-3)^2 + q = 4a + q$

この連立方程式を解く。

$9a + q = 5$

$4a + q = 0$

上の式から下の式を引くと

$5a = 5$

$a = 1$

$q = -4a = -4$

よって、求める2次関数は $y=(x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$

48

$x$ 軸と2点 (-2, 0), (1, 0)で交わるので、求める2次関数は $y=a(x+2)(x-1)$ と表せる。

このグラフが点 (0, -4) を通るので、

$-4 = a(0+2)(0-1) = a(2)(-1) = -2a$

$a = 2$

よって、求める2次関数は $y=2(x+2)(x-1) = 2(x^2 + 2x - x - 2) = 2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4$

3. 最終的な答え

46 (1) $y = -x^2 + 2x - 3$

46 (2) $y = -x^2 + 2x + 2$

46 (3) $y = -5x^2 - 20x - 15$

46 (4) $y = -3x^2 - 12x - 9$

47: $y = x^2 - 6x + 5$

48: $y = 2x^2 + 2x - 4$