与えられた連分数の値を計算し、その数の整数部分を求める問題です。 連分数は $ \frac{1}{\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{3} - \sqrt{7}} } $ です。

1. 問題の内容

与えられた連分数の値を計算し、その数の整数部分を求める問題です。

連分数は

$\frac{1}{\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{3} - \sqrt{7}} }$

です。

2. 解き方の手順

まず、分母にある各項を計算します。

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{3}} \times \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\frac{1}{1+\sqrt{3} + \sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3} - \sqrt{7}}$

$= \frac{(1+\sqrt{3} - \sqrt{7}) + (1+\sqrt{3} + \sqrt{7})}{(1+\sqrt{3} + \sqrt{7})(1+\sqrt{3} - \sqrt{7})}$

$= \frac{2(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}$

$= \frac{2(1+\sqrt{3})}{1+2\sqrt{3}+3 - 7} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{4+2\sqrt{3} - 7} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{-3+2\sqrt{3}}$

$= \frac{2(1+\sqrt{3})}{-3+2\sqrt{3}} \times \frac{-3-2\sqrt{3}}{-3-2\sqrt{3}} = \frac{2(1+\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})}{9-12} = \frac{2(-3-2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6)}{-3} = \frac{2(-9-5\sqrt{3})}{-3} = \frac{18+10\sqrt{3}}{3}$

したがって、与えられた分数は

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{18+10\sqrt{3}}{3}}$

$= \frac{1}{\frac{3\sqrt{3}-3 + 36+20\sqrt{3}}{6}} = \frac{1}{\frac{33+23\sqrt{3}}{6}} = \frac{6}{33+23\sqrt{3}}$

有理化すると

$\frac{6}{33+23\sqrt{3}} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{33^2 - (23\sqrt{3})^2} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{1089 - 23^2\times3} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{1089 - 529\times3} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{1089-1587} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{-498} = \frac{33-23\sqrt{3}}{-83} = \frac{23\sqrt{3}-33}{83}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので

$\frac{23(1.732)-33}{83} = \frac{39.836-33}{83} = \frac{6.836}{83} \approx 0.082$

したがって、

$\frac{23\sqrt{3}-33}{83}$の値を求めます。

$33^2 = 1089$

$(23\sqrt{3})^2 = 23^2 * 3 = 529 * 3 = 1587$

$\frac{6}{33+23\sqrt{3}} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{33^2-(23\sqrt{3})^2} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{1089-1587} = \frac{6(33-23\sqrt{3})}{-498} = \frac{33-23\sqrt{3}}{-83} = \frac{23\sqrt{3}-33}{83}$

$23\sqrt{3} \approx 23(1.7) \approx 39.1$

$\frac{39.1-33}{83} = \frac{6.1}{83} \approx 0.073$

計算しなおすと

$\frac{1}{\frac{1}{1+\sqrt{3}}} = 1+\sqrt{3}$

$\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})^2-7} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{1+2\sqrt{3}+3-7} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{-3+2\sqrt{3}} = \frac{2(1+\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})}{9-12} = \frac{2(-3-2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6)}{-3} = \frac{-18-10\sqrt{3}}{-3} = \frac{18+10\sqrt{3}}{3} = 6+\frac{10\sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = 1+\sqrt{3} + 6+\frac{10\sqrt{3}}{3} = 7+\frac{13\sqrt{3}}{3} = 7+\frac{13}{3}\sqrt{3} = 7+4.33\sqrt{3}$

$7+4.33(1.732) = 7+7.509 \approx 14.509$

$\frac{1}{14.509} = 0.0689$

3. 最終的な答え

0