与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ を計算し、その結果を $\frac{\text{キク} + \text{ケコ}\sqrt{3}}{\text{サ}}$ の形で表す。さらに、得られた数の整数部分を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ を計算し、その結果を $\frac{\text{キク} + \text{ケコ}\sqrt{3}}{\text{サ}}$ の形で表す。さらに、得られた数の整数部分を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた分数の和を計算する。

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\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{7}) + (1+\sqrt{3}+\sqrt{7})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})}

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分子を計算すると、

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(1+\sqrt{3}-\sqrt{7}) + (1+\sqrt{3}+\sqrt{7}) = 2 + 2\sqrt{3}

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分母を計算すると、

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(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3}-\sqrt{7}) = (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 7 = -3 + 2\sqrt{3}

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したがって、

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\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{-3 + 2\sqrt{3}}

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次に、分母を有理化するために、分子と分母に $-3 - 2\sqrt{3}$ を掛ける。

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\frac{2 + 2\sqrt{3}}{-3 + 2\sqrt{3}} = \frac{(2 + 2\sqrt{3})(-3 - 2\sqrt{3})}{(-3 + 2\sqrt{3})(-3 - 2\sqrt{3})}

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分子を計算すると、

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(2 + 2\sqrt{3})(-3 - 2\sqrt{3}) = -6 - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 12 = -18 - 10\sqrt{3}

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分母を計算すると、

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(-3 + 2\sqrt{3})(-3 - 2\sqrt{3}) = (-3)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - 12 = -3

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したがって、

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\frac{2 + 2\sqrt{3}}{-3 + 2\sqrt{3}} = \frac{-18 - 10\sqrt{3}}{-3} = \frac{18 + 10\sqrt{3}}{3} = 6 + \frac{10}{3}\sqrt{3}

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よって、$\frac{18+10\sqrt{3}}{3}$ なので、キク=18、ケコ=10、サ=3 である。

$6 + \frac{10}{3}\sqrt{3}$ の整数部分を考える。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、 $\frac{10}{3} \sqrt{3} \approx \frac{10}{3} \times 1.732 \approx 5.77$

したがって、$6 + \frac{10}{3}\sqrt{3} \approx 6 + 5.77 \approx 11.77$

よって、整数部分は11である。

3. 最終的な答え

キク = 18

ケコ = 10

サ = 3

シス = 11