与えられた分数式の和を計算し、その結果の整数部分を求める問題です。 与えられた式は $\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算し、その結果の整数部分を求める問題です。

与えられた式は

$\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた分数式の和を計算します。

分母を通分します。

$\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{7}) + (1+\sqrt{3}+\sqrt{7})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})}$

分子を整理すると

$1+\sqrt{3}-\sqrt{7} + 1+\sqrt{3}+\sqrt{7} = 2 + 2\sqrt{3}$

分母を整理すると

$(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3}-\sqrt{7}) = (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 7 = -3 + 2\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{2+2\sqrt{3}}{-3+2\sqrt{3}}$

分母を有理化します。分母と分子に $-3-2\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(2+2\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})}{(-3+2\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})} = \frac{-6 - 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 12}{9 - 12} = \frac{-18 - 10\sqrt{3}}{-3} = \frac{18 + 10\sqrt{3}}{3} = 6 + \frac{10}{3}\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので

$\frac{10}{3}\sqrt{3} \approx \frac{10}{3} \times 1.732 \approx 5.773$

したがって、

$6 + \frac{10}{3}\sqrt{3} \approx 6 + 5.773 \approx 11.773$

よって整数部分は 11 となります。

3. 最終的な答え

キク = 18, ケコ = 10, サ = 3, シス = 11

$\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{18+10\sqrt{3}}{3}$

整数部分は 11