多項式 $P(x)$ が $(x-1)^2$ で割ると $4x-5$ 余り、$x+2$ で割ると $-4$ 余る。 (1) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求める。 (2) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを求める。 (3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ が $(x-1)^2$ で割ると $4x-5$ 余り、$x+2$ で割ると $-4$ 余る。

(1) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求める。

(2) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを求める。

(3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $4x-5$ なので、ある多項式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (x-1)^2Q(x) + 4x - 5$ と表せる。

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは、剰余の定理より $P(1)$ である。

$P(1) = (1-1)^2Q(1) + 4(1) - 5 = 0 + 4 - 5 = -1$

(2)

$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りは、1次以下の多項式 $ax+b$ で表せる。

$P(x) = (x-1)(x+2)R(x) + ax + b$ と表せる。（R(x)は商）

$P(1) = a + b$ である。また、(1)より $P(1) = -1$ であるので、 $a + b = -1$。

$P(-2) = -2a + b$ である。問題文より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $-4$ なので、$P(-2) = -4$。

したがって、$-2a + b = -4$。

連立方程式

$a + b = -1$

$-2a + b = -4$

を解くと、

上の式から下の式を引いて、

$3a = 3$ なので、$a = 1$。

$a+b=-1$ に代入して、$1 + b = -1$ なので、$b = -2$。

よって、余りは $ax+b = x-2$。

(3)

$P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った余りは、2次以下の多項式 $ax^2+bx+c$ で表せる。

$P(x) = (x-1)^2(x+2)S(x) + ax^2 + bx + c$ と表せる。（S(x)は商）

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りは $4x-5$ なので、$ax^2 + bx + c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $4x-5$ である。

$ax^2 + bx + c = a(x-1)^2 + 4x-5 = a(x^2-2x+1) + 4x-5 = ax^2 + (-2a+4)x + (a-5)$

$P(x) = (x-1)^2(x+2)S(x) + a(x-1)^2 + 4x-5$

$P(-2) = a(-2-1)^2 + 4(-2) - 5 = 9a - 8 - 5 = 9a - 13$

$P(-2) = -4$ であるから、$9a - 13 = -4$。

$9a = 9$ なので、$a = 1$。

したがって、余りは $(x-1)^2 + 4x - 5 = x^2 - 2x + 1 + 4x - 5 = x^2 + 2x - 4$。

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $x-2$

(3) $x^2+2x-4$