(5) 漸化式 $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2^n}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について、 $a_2, a_3, a_4$ を求め、一般項 $a_n$ を類推し、その類推が正しいことを数学的帰納法で示す。 (6) $5^n - 4n$ ($n=1, 2, ...$) は 16 で割ると 1 余ることを示す。

1. 問題の内容

(5) 漸化式 $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2^n}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について、 $a_2, a_3, a_4$ を求め、一般項 $a_n$ を類推し、その類推が正しいことを数学的帰納法で示す。

(6) $5^n - 4n$ ($n=1, 2, ...$) は 16 で割ると 1 余ることを示す。

2. 解き方の手順

(5)

まず、$a_2$, $a_3$, $a_4$ を求める。

$a_2 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

$a_3 = \frac{1}{2} a_2 + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$

$a_4 = \frac{1}{2} a_3 + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{16} + \frac{1}{8} = \frac{7}{16}$

$a_1 = \frac{1}{2} = \frac{2^1-1}{2^1}$

$a_2 = \frac{3}{4} = \frac{2^2-1}{2^2}$

$a_3 = \frac{5}{8} = \frac{2^3-3}{2^3}$

$a_4 = \frac{7}{16} = \frac{2^4-9}{2^4}$

数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$と予想する。

数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2^1-1}{2^1} = \frac{1}{2}$ で成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{2^k-1}{2^k}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{1}{2} a_k + \frac{1}{2^k}$ に代入する。

$a_{k+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^k-1}{2^k} + \frac{1}{2^k} = \frac{2^k - 1}{2^{k+1}} + \frac{2}{2^{k+1}} = \frac{2^k + 1}{2^{k+1}} = \frac{2^{k+1} - 1}{2^{k+1}}$が正しいことを証明する。

$a_{k+1} = \frac{1}{2} a_k + \frac{1}{2^k} = \frac{2^k + 1}{2^{k+1}}$

$n=k+1$のとき、$a_{k+1} = \frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$が成立する。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$ が成立する。

(6)

$5^n - 4n$ を 16 で割ると 1 余ることを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき、$5^1 - 4(1) = 5 - 4 = 1$ であり、16 で割ると 1 余る。

(ii) $n=k$ のとき、$5^k - 4k = 16m + 1$ ($m$ は整数) が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$5^{k+1} - 4(k+1)$ を考える。

$5^{k+1} - 4(k+1) = 5 \cdot 5^k - 4k - 4 = 5(16m + 4k + 1) - 4k - 4 = 80m + 20k + 5 - 4k - 4 = 80m + 16k + 1 = 16(5m + k) + 1$

これは 16 で割ると 1 余る。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、$5^n - 4n$ は 16 で割ると 1 余る。

3. 最終的な答え

(5) $a_2 = \frac{3}{4}$, $a_3 = \frac{5}{8}$, $a_4 = \frac{7}{16}$

$a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$

(6) $5^n - 4n$ は 16 で割ると 1 余る。