与えられた数列の和を、$\Sigma$記号を使って表現します。 (1) $1+5+9+13+17+21$ (2) $1+3+9+27+81+\dots+3^{10}$ (3) $1^3+2^3+3^3+4^3+\dots+n^3$ (4) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + (第 n 項)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を、$\Sigma$記号を使って表現します。

(1) $1+5+9+13+17+21$

(2) $1+3+9+27+81+\dots+3^{10}$

(3) $1^3+2^3+3^3+4^3+\dots+n^3$

(4) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + (第 n 項)$

2. 解き方の手順

(1) この数列は等差数列です。初項は1、公差は4です。一般項は$a_k = 1 + (k-1)4 = 4k-3$ となります。項数は6なので、$\Sigma$を使って表すと、

$\sum_{k=1}^{6} (4k-3)$

(2) この数列は等比数列です。初項は1、公比は3です。一般項は$a_k = 3^{k-1}$ となります。最終項は$3^{10}$なので、項数は11です。$\Sigma$を使って表すと、

$\sum_{k=1}^{11} 3^{k-1}$

(3) この数列は各項が自然数の3乗です。$\Sigma$を使って表すと、

$\sum_{k=1}^{n} k^3$

(4) この数列の一般項は$k(k+3) = k^2 + 3k$ となります。$\Sigma$を使って表すと、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+3) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+3k)$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{6} (4k-3)$

(2) $\sum_{k=1}^{11} 3^{k-1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} k^3$

(4) $\sum_{k=1}^{n} k(k+3) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+3k)$