3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の値を求める問題です。 $\alpha + \beta + \gamma$ $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha$ $\alpha \beta \gamma$ $(1 - \alpha)(1 - \beta)(1 - \gamma)$ $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の値を求める問題です。

$\alpha + \beta + \gamma$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha$

$\alpha \beta \gamma$

$(1 - \alpha)(1 - \beta)(1 - \gamma)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -2$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -3$

$\alpha \beta \gamma = -1$

$(1 - \alpha)(1 - \beta)(1 - \gamma)$ を展開すると、

$(1 - \alpha)(1 - \beta)(1 - \gamma) = 1 - (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) - \alpha \beta \gamma$

$= 1 - (-2) + (-3) - (-1) = 1 + 2 - 3 + 1 = 1$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ は $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)$

$= (-2)^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$

$\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 + 2x^2 - 3x + 1 = 0$ の解なので、

$\alpha^3 + 2\alpha^2 - 3\alpha + 1 = 0$

$\beta^3 + 2\beta^2 - 3\beta + 1 = 0$

$\gamma^3 + 2\gamma^2 - 3\gamma + 1 = 0$

これらの式を足し合わせると、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 + 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 3(\alpha + \beta + \gamma) + 3 = 0$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 3(\alpha + \beta + \gamma) - 3$

$= -2(10) + 3(-2) - 3 = -20 - 6 - 3 = -29$

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta + \gamma = -2$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -3$

$\alpha \beta \gamma = -1$

$(1 - \alpha)(1 - \beta)(1 - \gamma) = 1$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 10$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -29$