$0 < a < 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log_2(a^{2n} + a^{3n})$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log_2(a^{2n} + a^{3n})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の中身を $a^{2n}$ でくくり出す。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log_2(a^{2n} + a^{3n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log_2(a^{2n}(1 + a^{n}))$$

対数の性質を用いて、式を分解する。

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\log_2(a^{2n}) + \log_2(1 + a^{n}))$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (2n \log_2(a) + \log_2(1 + a^{n}))$$

$$= \lim_{n \to \infty} (2 \log_2(a) + \frac{1}{n}\log_2(1 + a^{n}))$$

$0 < a < 1$ より、$\lim_{n \to \infty} a^n = 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} (1 + a^n) = 1$ となる。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \log_2(1 + a^n) = \log_2(1) = 0$ となる。

よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log_2(1 + a^{n}) = 0$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} (2 \log_2(a) + \frac{1}{n}\log_2(1 + a^{n})) = 2 \log_2(a) + 0 = 2 \log_2(a)$$

3. 最終的な答え

$2 \log_2(a)$