曲線 $y = \tan x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{4}$) と直線 $x = \frac{\pi}{4}$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \tan x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{4}$) と直線 $x = \frac{\pi}{4}$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める面積は、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$ で計算できます。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることに注意して、積分を計算します。

$\cos x = t$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より、$-\sin x \, dx = dt$ となります。

$x=0$ のとき、$t = \cos 0 = 1$ であり、$x=\frac{\pi}{4}$ のとき、$t = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{-1}{t} \, dt = - \int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{t} \, dt$

$= - [\ln |t|]_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = - \left( \ln \frac{1}{\sqrt{2}} - \ln 1 \right) = - \ln \frac{1}{\sqrt{2}} = - \ln 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 2$