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問題1：次の値を求めよ。 (1) $\sin \frac{\pi}{12}$ (2) $\cos \frac{13\pi}{12}$ (3) $\tan \frac{5\pi}{12}$ 問題2：$\cos \alpha = -\frac{2}{7}$のとき、次の値を求めよ。ただし、$\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$とする。 (1) $\sin \frac{\alpha}{2}$ (2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

解析学三角関数加法定理半角の公式三角関数の性質
2025/8/16

1. 問題の内容

問題1：次の値を求めよ。
(1) sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12}
(2) cos⁡13π12\cos \frac{13\pi}{12}
(3) tan⁡5π12\tan \frac{5\pi}{12}
問題2：cos⁡α=−27\cos \alpha = -\frac{2}{7}のとき、次の値を求めよ。ただし、π<α<32π\pi < \alpha < \frac{3}{2}\piとする。
(1) sin⁡α2\sin \frac{\alpha}{2}
(2) cos⁡α2\cos \frac{\alpha}{2}

2. 解き方の手順

問題1:
(1) sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12}
π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}なので、三角関数の加法定理を用いる。
sin⁡(π3−π4)=sin⁡π3cos⁡π4−cos⁡π3sin⁡π4=32⋅22−12⋅22=6−24\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
(2) cos⁡13π12\cos \frac{13\pi}{12}
13π12=π+π12\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}なので、三角関数の性質を用いる。
cos⁡(π+π12)=−cos⁡π12\cos(\pi + \frac{\pi}{12}) = -\cos\frac{\pi}{12}
π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}なので、三角関数の加法定理を用いる。
cos⁡(π3−π4)=cos⁡π3cos⁡π4+sin⁡π3sin⁡π4=12⋅22+32⋅22=2+64\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
よって、cos⁡13π12=−6+24\cos \frac{13\pi}{12} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
(3) tan⁡5π12\tan \frac{5\pi}{12}
5π12=π6+π4\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}なので、三角関数の加法定理を用いる。
tan⁡(π6+π4)=tan⁡π6+tan⁡π41−tan⁡π6tan⁡π4=13+11−13⋅1=1+33−1=(1+3)(3+1)(3−1)(3+1)=1+23+33−1=4+232=2+3\tan(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
問題2:
(1) sin⁡α2\sin \frac{\alpha}{2}
π<α<32π\pi < \alpha < \frac{3}{2}\piなので、π2<α2<34π\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3}{4}\piである。したがって、sin⁡α2>0\sin \frac{\alpha}{2} > 0である。
sin⁡2α2=1−cos⁡α2=1−(−27)2=1+272=972=914\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{2}{7})}{2} = \frac{1 + \frac{2}{7}}{2} = \frac{\frac{9}{7}}{2} = \frac{9}{14}
よって、sin⁡α2=914=314=31414=91414=6−24\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{9} \sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}ではない
(2) cos⁡α2\cos \frac{\alpha}{2}
π<α<32π\pi < \alpha < \frac{3}{2}\piなので、π2<α2<34π\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3}{4}\piである。したがって、cos⁡α2<0\cos \frac{\alpha}{2} < 0である。
cos⁡2α2=1+cos⁡α2=1+(−27)2=1−272=572=514\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{2}{7})}{2} = \frac{1 - \frac{2}{7}}{2} = \frac{\frac{5}{7}}{2} = \frac{5}{14}
よって、cos⁡α2=−514=−514=−7014\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{5}{14}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} = -\frac{\sqrt{70}}{14}
問題1 (1) の答えは選択肢2：6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
問題2 (2) の答えは選択肢5：−6+24-\frac{\sqrt{6+ \sqrt{2}}}{4}ではない

3. 最終的な答え

1 (1): 2
1 (2): 5