次の2つの関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 3\sqrt{3}\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$ (2) $y = -2\sin{\theta} + \cos{\theta}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 3\sqrt{3}\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$

(2) $y = -2\sin{\theta} + \cos{\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3\sqrt{3}\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$ の場合：

三角関数の合成を行います。

$R = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$

よって、

$y = 6(\frac{3\sqrt{3}}{6}\sin{\theta} + \frac{3}{6}\cos{\theta}) = 6(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta} + \frac{1}{2}\cos{\theta})$

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin{\alpha} = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

$y = 6\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le 1$ より、

$-6 \le y \le 6$

したがって、最大値は6、最小値は-6です。

(2) $y = -2\sin{\theta} + \cos{\theta}$ の場合：

三角関数の合成を行います。

$R = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

よって、

$y = \sqrt{5}(-\frac{2}{\sqrt{5}}\sin{\theta} + \frac{1}{\sqrt{5}}\cos{\theta})$

$\cos{\alpha} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ となる $\alpha$ を用いると、

$y = \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$

$-1 \le \sin(\theta + \alpha) \le 1$ より、

$-\sqrt{5} \le y \le \sqrt{5}$

したがって、最大値は$\sqrt{5}$、最小値は$-\sqrt{5}$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：6、最小値：-6

(2) 最大値：$\sqrt{5}$、最小値：$-\sqrt{5}$