(1) 2次関数 $y = -x^2 - 4x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したところ、2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフと重なった。$a$ と $b$ の値を求める。 (2) 放物線 $y = 2x^2 - 3x + 4$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-10だけ平行移動した後の放物線の式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = -x^2 - 4x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したところ、2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフと重なった。$a$ と $b$ の値を求める。

(2) 放物線 $y = 2x^2 - 3x + 4$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-10だけ平行移動した後の放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -x^2 - 4x + 1$ を平行移動した式を立てる。$x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、

$y - b = -(x - a)^2 - 4(x - a) + 1$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2) - 4x + 4a + 1 + b$

$y = -x^2 + 2ax - a^2 - 4x + 4a + 1 + b$

$y = -x^2 + (2a - 4)x + (-a^2 + 4a + 1 + b)$

これが $y = -x^2 + 6x + 1$ と一致するので、

$2a - 4 = 6$

$-a^2 + 4a + 1 + b = 1$

上の式から $2a = 10$, よって $a = 5$

下の式に代入して $-5^2 + 4(5) + 1 + b = 1$

$-25 + 20 + 1 + b = 1$

$-4 + b = 1$

$b = 5$

よって、$x$ 軸方向に 5, $y$ 軸方向に 5 だけ平行移動した。

(2)

放物線 $y = 2x^2 - 3x + 4$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-10だけ平行移動すると、

$y + 10 = 2(x - 2)^2 - 3(x - 2) + 4$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 3x + 6 + 4 - 10$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 3x + 6 + 4 - 10$

$y = 2x^2 - 11x + 8$

3. 最終的な答え

(1) $x$ 軸方向に 5, $y$ 軸方向に 5

(2) $y = 2x^2 - 11x + 8$