画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の3つの問題です。 (1) 放物線 $y = -x^2 + 4x$ の頂点の座標を求める。 (2) 式 $\frac{{}_5C_2 - {}_5C_1}{{}_4C_1 - 5}$ の値を求める。 (3) 円の図において、$x$ の値を求める。ただし、ABとCDは円の弦である。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の3つの問題です。

(1) 放物線 $y = -x^2 + 4x$ の頂点の座標を求める。

(2) 式 $\frac{{}_5C_2 - {}_5C_1}{{}_4C_1 - 5}$ の値を求める。

(3) 円の図において、$x$ の値を求める。ただし、ABとCDは円の弦である。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = -x^2 + 4x$ の頂点の座標を求める。

まず、与えられた式を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -(x - 2)^2 + 4$

頂点の座標は $(2, 4)$ です。

(2) 式 $\frac{{}_5C_2 - {}_5C_1}{{}_4C_1 - 5}$ の値を求める。

まず、各組み合わせの値を計算します。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_5C_1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$

${}_4C_1 = \frac{4!}{1!3!} = 4$

したがって、与えられた式は

$\frac{10 - 5}{4 - 5} = \frac{5}{-1} = -5$

(3) 円の図において、$x$ の値を求める。

円の弦に関する公式を利用します。交点を持つ2つの弦AB, CDについて、以下の関係が成り立ちます。

$AC \times CB = DC \times CA$

図から、$AC = 2x$、$CB = x - 10$、$DC = 5$、$CA = 4$.

よって、$AC \times CB = DC \times CB \implies 2 \times 5 = 10, 2*x = 4$

与えられている式は、$2x = 20 \implies x=10$のようです。 $2x = x-10$ではなく、AC * CB= AD* DB.

$2x*(x-10) = 4*5=20$

$2x^2 -20x -20 = 0$

$x^2 - 10x - 10 = 0$

$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x= \frac{10 \pm \sqrt{100+40}}{2}$

$x= \frac{10 \pm \sqrt{140}}{2}$

$x= \frac{10 \pm 2\sqrt{35}}{2}$

$x= 5 \pm \sqrt{35}$

$x= 5 +\sqrt{35}$

ただし、$x>0$なので $5 \pm \sqrt{35}>0$

$x$は$5 + \sqrt{35}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, 4)$

(2) 式の値: $-5$

(3) $x$の値: $5 + \sqrt{35}$