3点 $(1, 4)$, $(-1, t)$, $(t, 2)$ が一直線上にあるとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

3点 $(1, 4)$, $(-1, t)$, $(t, 2)$ が一直線上にあるとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、これらの点で作られるベクトルの方向が同じであるということである。そこで、2つのベクトルを計算し、その方向が同じになるように $t$ の値を定める。

まず、ベクトル $\vec{a}$ を $(1, 4)$ から $(-1, t)$ へ向かうベクトルとすると、

$\vec{a} = (-1-1, t-4) = (-2, t-4)$ となる。

次に、ベクトル $\vec{b}$ を $(1, 4)$ から $(t, 2)$ へ向かうベクトルとすると、

$\vec{b} = (t-1, 2-4) = (t-1, -2)$ となる。

3点が一直線上にあるためには、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行である必要がある。つまり、$\vec{a} = k\vec{b}$ を満たす実数 $k$ が存在する必要がある。

したがって、

$(-2, t-4) = k(t-1, -2)$

これが成り立つためには、

$-2 = k(t-1)$ かつ $t-4 = -2k$

この2つの式から $k$ を消去する。

$k = \frac{-2}{t-1}$

これを $t-4 = -2k$ に代入すると、

$t-4 = -2(\frac{-2}{t-1})$

$t-4 = \frac{4}{t-1}$

$(t-4)(t-1) = 4$

$t^2 - 5t + 4 = 4$

$t^2 - 5t = 0$

$t(t-5) = 0$

したがって、$t = 0$ または $t = 5$ である。

$t=1$のとき、$\vec{b} = (0, -2)$となり、$\vec{a} = (-2, -4)$となる。この場合$k=1$となるので、$-2 = k(t-1) = 0$となり矛盾。従って、$t=1$は解にならない。

$t=0$のとき、$\vec{a} = (-2, -4)$、$\vec{b} = (-1, -2)$となり、$\vec{a}=2\vec{b}$となる。

$t=5$のとき、$\vec{a} = (-2, 1)$、$\vec{b} = (4, -2)$となり、$\vec{a}=-\frac{1}{2}\vec{b}$となる。

したがって、どちらの$t$も条件を満たす。

3. 最終的な答え

$t = 0, 5$