ある地点における7時から19時までの気温 $y(t)$ が、時刻 $t$ の二次関数 $y(t) = -\frac{4}{13}t^2 + \frac{108}{13}t - \frac{323}{13}$ で表される。このとき、最高気温となる時刻 $t$、気温が25度となる時刻 $t$、および気温が30度以上となる時間数を求める。

1. 問題の内容

ある地点における7時から19時までの気温 $y(t)$ が、時刻 $t$ の二次関数 $y(t) = -\frac{4}{13}t^2 + \frac{108}{13}t - \frac{323}{13}$ で表される。このとき、最高気温となる時刻 $t$、気温が25度となる時刻 $t$、および気温が30度以上となる時間数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最高気温となる時刻を求める。

$y(t) = -\frac{4}{13}t^2 + \frac{108}{13}t - \frac{323}{13}$ を平方完成する。

$y(t) = -\frac{4}{13}(t^2 - 27t) - \frac{323}{13}$

$y(t) = -\frac{4}{13}(t - \frac{27}{2})^2 + \frac{4}{13}(\frac{27}{2})^2 - \frac{323}{13}$

$y(t) = -\frac{4}{13}(t - \frac{27}{2})^2 + \frac{4}{13} \cdot \frac{729}{4} - \frac{323}{13}$

$y(t) = -\frac{4}{13}(t - \frac{27}{2})^2 + \frac{729}{13} - \frac{323}{13}$

$y(t) = -\frac{4}{13}(t - \frac{27}{2})^2 + \frac{406}{13}$

$y(t)$ は $t = \frac{27}{2} = 13.5$ のとき最大値 $\frac{406}{13} \approx 31.23$ をとる。

$7 \le t \le 19$ であるから、$t=13.5$ はこの範囲に含まれる。

よって、最高気温となる時刻は $t = 13.5$ (13時30分)である。最高気温は $\frac{406}{13}$ 度である。

(2) 気温が25度となる時刻を求める。

$y(t) = 25$ となる $t$ を求める。

$-\frac{4}{13}t^2 + \frac{108}{13}t - \frac{323}{13} = 25$

$-4t^2 + 108t - 323 = 325$

$-4t^2 + 108t - 648 = 0$

$t^2 - 27t + 162 = 0$

$(t - 9)(t - 18) = 0$

$t = 9, 18$

したがって、気温が25度となる時刻は $t = 9$ と $t = 18$ である。

(3) 気温が30度以上となる時間を求める。

$y(t) \ge 30$ となる $t$ を求める。

$-\frac{4}{13}t^2 + \frac{108}{13}t - \frac{323}{13} \ge 30$

$-4t^2 + 108t - 323 \ge 390$

$-4t^2 + 108t - 713 \ge 0$

$4t^2 - 108t + 713 \le 0$

解の公式を用いて、$4t^2 - 108t + 713 = 0$ の解を求める。

$t = \frac{108 \pm \sqrt{108^2 - 4 \cdot 4 \cdot 713}}{2 \cdot 4} = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 11408}}{8} = \frac{108 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{108 \pm 16}{8}$

$t_1 = \frac{108 - 16}{8} = \frac{92}{8} = 11.5$

$t_2 = \frac{108 + 16}{8} = \frac{124}{8} = 15.5$

したがって、気温が30度以上となるのは $11.5 \le t \le 15.5$ のときである。

$15.5 - 11.5 = 4$ 時間。

3. 最終的な答え

時刻 $t = 13.5$ のときに最高気温 $\frac{406}{13}$ 度をとる。

気温が25度になるのは時刻 $t = 9, 18$ のときである。

気温が30度以上となる時間は 4 時間続く。