2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ と $g(x) = -x^2 + px + q$ がある。関数 $y = g(x)$ のグラフが、$y = f(x)$ 上の2点 $(1, -2)$ と $(5, 6)$ を通るとき、$p$ と $q$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ と $g(x) = -x^2 + px + q$ がある。関数 $y = g(x)$ のグラフが、$y = f(x)$ 上の2点 $(1, -2)$ と $(5, 6)$ を通るとき、$p$ と $q$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = g(x)$ のグラフが点 $(1, -2)$ と $(5, 6)$ を通るという条件から、$p$ と $q$ に関する2つの式を立てる。

点 $(1, -2)$ を通るので、

$g(1) = -1^2 + p(1) + q = -2$

$-1 + p + q = -2$

$p + q = -1$ ...(1)

点 $(5, 6)$ を通るので、

$g(5) = -5^2 + p(5) + q = 6$

$-25 + 5p + q = 6$

$5p + q = 31$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(5p + q) - (p + q) = 31 - (-1)$

$4p = 32$

$p = 8$

(1) に $p = 8$ を代入すると、

$8 + q = -1$

$q = -9$

3. 最終的な答え

$p = 8$

$q = -9$