直角三角形ABCがあり、BC=6cm、∠BCA=90°である。 (1) AB=11cmのとき、三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。 (2) AB=12cmのとき、三角形ABCを直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

(1)

まず、ACの長さを求める。三平方の定理より、

AC^2 + BC^2 = AB^2

AC^2 + 6^2 = 11^2

AC^2 = 121 - 36 = 85

AC = \sqrt{85}

回転してできる立体は円錐である。円錐の体積は、底面積 × 高さ × (1/3) で求められる。

底面の半径はAC =

\sqrt{85}

cm、高さはBC = 6 cmである。

体積 =

\pi (\sqrt{85})^2 \times 6 \times \frac{1}{3} = \pi \times 85 \times 2 = 170\pi

(2)

まず、ACの長さを求める。三平方の定理より、

AC^2 + BC^2 = AB^2

AC^2 + 6^2 = 12^2

AC^2 = 144 - 36 = 108

AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

三角形ABCをABを軸として回転させると、底面が共通の２つの円錐ができる。円錐の体積は、底面積 × 高さ × (1/3) で求められる。

ここでは、面積を計算するために、まず三角形ABCの面積を求める。

S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}

回転軸ABと点Cの距離をｈとすると、

S = \frac{1}{2} \times AB \times h

なので

18\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 12 \times h

h = \frac{36\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3}

ABを軸として回転させた立体の体積をVとすると、

V = \frac{1}{3} \pi h^2 \times AD + \frac{1}{3} \pi h^2 \times BD = \frac{1}{3}\pi h^2 (AD + BD) = \frac{1}{3} \pi h^2 AB

ここで、ADとBDを求めるために、

AC^2 = AD \times AB

を使う。

(6\sqrt{3})^2 = AD \times 12

108 = 12 \times AD

AD = 9

BD = AB - AD = 12 - 9 = 3

V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \times 12 = \frac{1}{3} \pi (27) \times 12 = 9\pi \times 12 = 108\pi

1. 問題の内容