3点O(0, 0), A(4, -2), B(-3, 4)を頂点とする三角形OABについて、点Bと直線OAの距離と、三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

3点O(0, 0), A(4, -2), B(-3, 4)を頂点とする三角形OABについて、点Bと直線OAの距離と、三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線OAの方程式を求める。

点O(0, 0)と点A(4, -2)を通る直線の方程式は、傾きが$\frac{-2 - 0}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$なので、$y = -\frac{1}{2}x$ と表せる。

変形して、$x + 2y = 0$。

(2) 点B(-3, 4)と直線OAの距離dを求める。

点と直線の距離の公式は、点$(x_1, y_1)$と直線$ax + by + c = 0$の距離dは、$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。

今回の場合は、点B(-3, 4)と直線$x + 2y = 0$なので、$a = 1, b = 2, c = 0, x_1 = -3, y_1 = 4$。

$d = \frac{|1(-3) + 2(4) + 0|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-3 + 8|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) 三角形OABの面積Sを求める。

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$

点O(0, 0), A(4, -2), B(-3, 4)なので、

$S = \frac{1}{2} |4 \cdot 4 - (-3) \cdot (-2)| = \frac{1}{2} |16 - 6| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$

3. 最終的な答え

点Bと直線OAの距離: $\sqrt{5}$

三角形OABの面積: 5