式 $(x-1)(x+2)(x-2)(x-5)$ を展開してください。

## 問題1

1. 問題の内容

式 $(x-1)(x+2)(x-2)(x-5)$ を展開してください。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-5)$ と $(x+2)(x-2)$ をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$

$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - 6x + 5)(x^2 - 4) = x^2(x^2 - 6x + 5) - 4(x^2 - 6x + 5)$

$= x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 4x^2 + 24x - 20$

$= x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$

3. 最終的な答え

$x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$

## 問題2

1. 問題の内容

式 $2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-5y+1)x + (-3y^2+11y-6)$

次に、定数項を因数分解します。

$-3y^2+11y-6 = -(3y^2-11y+6) = -(3y-2)(y-3) = (2-3y)(y-3)$

与式が $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定します。$2x^2$の項と$-3y^2$の項から考えると，$2x^2-5xy-3y^2 = (2x+y)(x-3y)$ が考えられます。

そこで，

$2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6 = (2x+y+a)(x-3y+b)$ とおきます。

展開して係数を比較することを考えます。

$2x^2-5xy-3y^2+(a+2b)x+(b-3a)y+ab$

よって

$a+2b = 1$

$b-3a = 11$

$ab = -6$

$a = 1-2b$ より $b-3(1-2b)=11$ つまり $7b = 14$ なので $b=2$ となります。

このとき $a=1-2\times2 = -3$

$ab=(-3)\times2 = -6$ なので合致します。

よって、

$2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6 = (2x+y-3)(x-3y+2)$

3. 最終的な答え

$(2x+y-3)(x-3y+2)$