関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 + x^2 + x + 1$ を満たすとき、$f(1)$ の値を求め、さらに定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 + x^2 + x + 1$ を満たすとき、$f(1)$ の値を求め、さらに定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (x^3 + x^2 + x + 1)$

積分記号の中身の関数を微分すると、$f(x)$ が得られます。右辺は $x$ について微分します。

$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$

次に $f(1)$ の値を求めます。

$f(1) = 3(1)^2 + 2(1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

次に、$a$ の値を求めます。積分区間の下端が $a$ なので、$x = a$ を元の式に代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^3 + a^2 + a + 1$

定積分の性質から、$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ となるので、

$0 = a^3 + a^2 + a + 1$

$a^3 + a^2 + a + 1 = 0$

$(a+1)(a^2 + 1) = 0$

$a$ は実数なので、$a = -1$

3. 最終的な答え

$f(1) = 6$

$a = -1$