数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n+1}$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n+1}$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の逆数をとる。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n+1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、漸化式は

$b_{n+1} = b_n + 3$

と変形できる。これは等差数列の形である。

初項は $b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$ であり、公差は $3$ であるから、数列 $\{b_n\}$ の一般項は

$b_n = b_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$

したがって、

$\frac{1}{a_n} = 3n - 2$

であるから、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = \frac{1}{3n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{3n-2}$