$a$ は正の定数とする。区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、(1) 最大値を求めよ。(2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、(1) 最大値を求めよ。(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

よって、この関数は $x=3$ のとき最大値 $9$ をとる上に凸な放物線である。軸は $x=3$ である。

(1) 最大値を求める。

区間 $0 \le x \le a$ における最大値を求める。

場合分けを行う。

(i) $0 < a \le 3$ のとき、区間内で $x=3$ を含まないため、最大値は $x=a$ のときにとる。

最大値は $f(a) = -a^2 + 6a$

(ii) $a > 3$ のとき、区間内で $x=3$ を含むため、最大値は $x=3$ のときにとる。

最大値は $f(3) = 9$

(2) 最小値を求める。

区間 $0 \le x \le a$ における最小値を求める。

場合分けを行う。

(i) $0 < a < 6$ のとき、区間の左端 $x=0$ で最小値をとる。

最小値は $f(0) = -0^2 + 6(0) = 0$

(ii) $a \ge 6$ のとき、区間の右端 $x=a$ で最小値をとる。

最小値は $f(a) = -a^2 + 6a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値について

$0 < a \le 3$ のとき、最大値は $-a^2 + 6a$

$a > 3$ のとき、最大値は $9$

(2) 最小値について

$0 < a < 6$ のとき、最小値は $0$

$a \ge 6$ のとき、最小値は $-a^2 + 6a$