円 $x^2 + y^2 + 2x - 6y = 0$ と中心が同じで、直線 $y = -2x$ に接する円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 2x - 6y = 0$ と中心が同じで、直線 $y = -2x$ に接する円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた円の方程式を変形して、中心の座標を求めます。次に、求める円の中心と直線 $y=-2x$ との距離が、円の半径に等しいことを利用して、円の方程式を決定します。

ステップ1：与えられた円の方程式を平方完成します。

$x^2 + 2x + y^2 - 6y = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 1 + 9$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 10$

したがって、与えられた円の中心は $(-1, 3)$ です。

ステップ2：求める円の中心は $(-1, 3)$ であり、円の方程式は $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ と表せます。ここで、$r$ は円の半径です。

ステップ3：直線 $y = -2x$、つまり $2x + y = 0$ と点 $(-1, 3)$ の距離を求めます。

点と直線の距離の公式は、$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。

この問題では、$a = 2$, $b = 1$, $c = 0$, $x_1 = -1$, $y_1 = 3$ なので、

$d = \frac{|2(-1) + 1(3) + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

これが円の半径 $r$ に等しいので、$r = \frac{\sqrt{5}}{5}$ です。

ステップ4：円の方程式を完成させます。

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (\frac{\sqrt{5}}{5})^2$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{5}{25}$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{1}{5}$