不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があるため、定義域を考えます。

$5x+5 \ge 0$

$5x \ge -5$

$x \ge -1$

次に、与えられた不等式を考えます。

$-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$

$x^2 \ge 0$ なので、$-x^2 \le 0$ です。

$x = -1$ のとき、 $-(-1)^2 = -1$ であり、$2\sqrt{5(-1)+5} = 2\sqrt{0} = 0$ なので、$-1 < 0$となり、不等式を満たします。

$x > -1$ のとき、$2\sqrt{5x+5}$ は常に正の値を取ります。また $-x^2$ は常に負の値（または0）を取るので、$-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ は常に成り立ちます。

したがって、$x > -1$ も不等式を満たします。

定義域と上記の考察から、$x \ge -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \ge -1$