与えられた不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である必要があるので、$5x+5 \ge 0$、すなわち、$x \ge -1$である。

次に、不等式の両辺が正であることを確認する。$-x^2$は常に負または0であり、$2\sqrt{5x+5}$は常に非負であるため、この不等式は、$x\ge -1$の範囲において、$x \ne 0$であれば常に成り立つ。

$x=0$の場合、$-0^2 < 2\sqrt{5\cdot 0 + 5}$となり、$0 < 2\sqrt{5}$ となり、これは成り立つ。

$x=-1$の場合、$-(-1)^2 < 2\sqrt{5\cdot(-1)+5}$となり、$-1 < 2\sqrt{0}$となり、$-1<0$となり、これは成り立つ。

$x\ge -1$において、$x=0$を含め、常に成り立つ。

ただし、定義域から、$x \ge -1$なので、答えは $x \ge -1$となる。

元の不等式を変形する。$2\sqrt{5x+5}$ は常に非負である。$-x^2$ は常に 0 以下である。したがって、$x \ge -1$ を満たす $x$ に対して、$x=0$ のとき $-x^2 = 0$ であり $2\sqrt{5x+5} = 2\sqrt{5} > 0$ なので不等式は成立する。$x \ne 0$ であれば $-x^2 < 0$ なので、$x \ge -1$ かつ $x \ne 0$ で不等式は成立する。したがって、$x \ge -1$ が答えになる。

3. 最終的な答え

$x \ge -1$