与えられた不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である必要があるため、$5x + 5 \ge 0$ より、$x \ge -1$ である必要があります。

また、$x^2 \ge 0$ なので、 $-x^2 \le 0$ となります。

ここで、$2\sqrt{5x+5} \ge 0$ であるため、$x > -1$ の範囲では不等式 $-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$ が常に成り立ちます。

$x = -1$ の時、$-x^2 = -1$ であり、$2\sqrt{5x+5} = 2\sqrt{0} = 0$ なので、 $-1 < 0$ となり、不等式は成り立ちます。

したがって、$x = -1$ も解に含まれます。

ここで、$x \ge -1$ の範囲で両辺を2乗すると、

$(-x^2)^2 < (2\sqrt{5x+5})^2$

$x^4 < 4(5x+5)$

$x^4 < 20x + 20$

$x^4 - 20x - 20 < 0$

この不等式を解くのは難しいので、元の不等式を別の方法で考えます。

$x=-1$のとき、$-(-1)^2 = -1 < 2\sqrt{5(-1)+5} = 0$なので、不等式は成立します。

$x=0$のとき、$-0^2 = 0 < 2\sqrt{5(0)+5} = 2\sqrt{5}$なので、不等式は成立します。

$x=1$のとき、$-1^2 = -1 < 2\sqrt{5(1)+5} = 2\sqrt{10}$なので、不等式は成立します。

$x=2$のとき、$-2^2 = -4 < 2\sqrt{5(2)+5} = 2\sqrt{15}$なので、不等式は成立します。

$x=3$のとき、$-3^2 = -9 < 2\sqrt{5(3)+5} = 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5} \approx 8.94$なので、不等式は成立します。

$-x^2 < 2\sqrt{5x+5}$

$x \ge -1$ の範囲で考えます。

$x^2+2\sqrt{5x+5} > 0$

$2\sqrt{5x+5} > x^2$が、$x \ge -1$ で成立する$x$を求めます。

グラフを考えるか、または数値的に解くことを試みることが考えられます。

ここでは、$x \ge -1$ において、この不等式が常に成立すると考えます。

3. 最終的な答え

$x \ge -1$