円の中心が直線 $y = -2x + 1$ 上にあり、$y$軸に接し、点 $(4, -3)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円の中心が直線 $y = -2x + 1$ 上にあり、$y$軸に接し、点 $(4, -3)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 円の中心の座標を $(a, -2a+1)$ と置きます。なぜなら、円の中心が直線 $y = -2x + 1$ 上にあるからです。

* 円が $y$ 軸に接するので、円の半径は $|a|$ となります。

* 円の方程式は、

$$(x-a)^2 + (y+2a-1)^2 = a^2$$

と表せます。

* 円が点 $(4, -3)$ を通るので、この座標を円の方程式に代入します。

$$(4-a)^2 + (-3+2a-1)^2 = a^2$$

* これを展開して整理します。

$$(4-a)^2 + (2a-4)^2 = a^2$$

$$16 - 8a + a^2 + 4a^2 - 16a + 16 = a^2$$

$$4a^2 - 24a + 32 = 0$$

$$a^2 - 6a + 8 = 0$$

* $a$ についての二次方程式を解きます。

$$(a-2)(a-4) = 0$$

$$a = 2, 4$$

* $a = 2$ のとき、円の中心は $(2, -2(2) + 1) = (2, -3)$、半径は $|2| = 2$。円の方程式は $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$.

* $a = 4$ のとき、円の中心は $(4, -2(4) + 1) = (4, -7)$、半径は $|4| = 4$。円の方程式は $(x-4)^2 + (y+7)^2 = 16$.

3. 最終的な答え

円の方程式は次の2つです。

$$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$$

$$(x-4)^2 + (y+7)^2 = 16$$