定数 $a$ が与えられたとき、区間 $-1 \le x \le 1$ における関数 $f(x) = x^2 - ax - 1$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、区間 $-1 \le x \le 1$ における関数 $f(x) = x^2 - ax - 1$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = x^2 - ax - 1$ を平方完成します。

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - 1$

これにより、放物線の頂点の $x$ 座標が $x = \frac{a}{2}$ であることが分かります。次に、この頂点の位置によって場合分けを行います。

(i) $\frac{a}{2} < -1$ つまり $a < -2$ のとき

この場合、区間 $-1 \le x \le 1$ において $f(x)$ は単調減少なので、$x=1$ で最小値をとります。

最小値は $f(1) = 1^2 - a(1) - 1 = 1 - a - 1 = -a$ となります。

(ii) $-1 \le \frac{a}{2} \le 1$ つまり $-2 \le a \le 2$ のとき

この場合、区間 $-1 \le x \le 1$ に頂点が含まれるので、$x = \frac{a}{2}$ で最小値をとります。

最小値は $f(\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) - 1 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} - 1 = -\frac{a^2}{4} - 1$ となります。

(iii) $\frac{a}{2} > 1$ つまり $a > 2$ のとき

この場合、区間 $-1 \le x \le 1$ において $f(x)$ は単調増加なので、$x=-1$ で最小値をとります。

最小値は $f(-1) = (-1)^2 - a(-1) - 1 = 1 + a - 1 = a$ となります。

3. 最終的な答え

まとめると、最小値は

$a < -2$ のとき、 $-a$

$-2 \le a \le 2$ のとき、 $-\frac{a^2}{4} - 1$

$a > 2$ のとき、 $a$