2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ の2つの交点と点 $(1, 1)$ を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ の2つの交点と点 $(1, 1)$ を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

と表される。この円が点 $(1, 1)$ を通るので、

$1^2 + 1^2 - 4 + k(1^2 + 1^2 - 8(1) - 4(1) + 4) = 0$

$-2 + k(1 + 1 - 8 - 4 + 4) = 0$

$-2 + k(-6) = 0$

$-6k = 2$

$k = -\frac{1}{3}$

これを代入すると

$x^2 + y^2 - 4 - \frac{1}{3}(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

$3(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 12 - x^2 - y^2 + 8x + 4y - 4 = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 8x + 4y - 16 = 0$

$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$

平方完成すると

$(x^2 + 4x) + (y^2 + 2y) - 8 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 8 - 4 - 1 = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$

よって、中心は $(-2, -1)$, 半径は $\sqrt{13}$ である。

3. 最終的な答え

中心: $(-2, -1)$

半径: $\sqrt{13}$