2点 $A(3, 1)$ と $B(0, 4)$ からの距離の2乗の和が15である点 $P$ の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

2点 $A(3, 1)$ と $B(0, 4)$ からの距離の2乗の和が15である点 $P$ の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$AP^2$ と $BP^2$ をそれぞれ計算します。

$AP^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$

$BP^2 = (x - 0)^2 + (y - 4)^2 = x^2 + (y - 4)^2$

$AP^2 + BP^2 = 15$ という条件から、

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + x^2 + (y - 4)^2 = 15$

これを展開して整理します。

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) + x^2 + (y^2 - 8y + 16) = 15$

$2x^2 - 6x + 2y^2 - 10y + 26 = 15$

$2x^2 - 6x + 2y^2 - 10y + 11 = 0$

$x^2 - 3x + y^2 - 5y + \frac{11}{2} = 0$

平方完成を行います。

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + \frac{11}{2} = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{25}{4} + \frac{22}{4} = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{12}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = 3$

3. 最終的な答え

中心 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$, 半径 $\sqrt{3}$ の円