数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} - 2a_n = n \cdot 2^{n+1}$ を満たす。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} - 2a_n = n \cdot 2^{n+1}$ を満たす。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は $a_{n+1} - 2a_n = n \cdot 2^{n+1}$ である。

まず、この漸化式を $2^{n+1}$ で割る。

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \frac{2a_n}{2^{n+1}} = \frac{n \cdot 2^{n+1}}{2^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \frac{a_n}{2^n} = n$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、

$b_{n+1} - b_n = n$

この式は、数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $n$ であることを意味する。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k$ (for $n \ge 2$)

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{1}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

よって、$b_n = \frac{1}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{1 + n^2 - n}{2}$ (for $n \ge 2$)

$b_1 = \frac{1}{2}$ なので、$n=1$ のときも成り立つ。

したがって、$b_n = \frac{n^2 - n + 1}{2}$ である。

$a_n = 2^n b_n = 2^n \cdot \frac{n^2 - n + 1}{2} = (n^2 - n + 1) \cdot 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = (n^2 - n + 1)2^{n-1}$