2桁の自然数とその数の十の位と一の位を入れ替えた数の差は、9の倍数になることを文字を使って説明する。ただし、2桁の自然数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とする。

1. 問題の内容

2桁の自然数とその数の十の位と一の位を入れ替えた数の差は、9の倍数になることを文字を使って説明する。ただし、2桁の自然数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とする。

2. 解き方の手順

* 2桁の自然数は $10x + y$ と表される。

* 十の位と一の位を入れ替えた数は $10y + x$ と表される。

* これらの差を計算する。$10x+y$ と $10y+x$ のどちらが大きいかによって場合分けをする。

* $x > y$ の場合:

$(10x + y) - (10y + x) = 10x + y - 10y - x = 9x - 9y = 9(x - y)$

* $x < y$ の場合:

$(10y + x) - (10x + y) = 10y + x - 10x - y = 9y - 9x = 9(y - x)$

* $x=y$ の場合：

$(10x+y) - (10y+x) = (10x + x) - (10x + x) = 0$

$0=9 \times 0$ と表現できる。

* いずれの場合も、差は9の倍数となる。

3. 最終的な答え

2けたの自然数の十の位の数を$x$、一の位の数を$y$とすると、この自然数は$10x+y$と表せる。十の位と一の位を入れ替えた自然数は$10y+x$と表せる。これらの差は、

$x>y$ のとき、$(10x+y)-(10y+x) = 9x-9y = 9(x-y)$

$x<y$ のとき、$(10y+x)-(10x+y) = 9y-9x = 9(y-x)$

$x=y$ のとき、$(10x+y)-(10y+x) = 0 = 9 \times 0$

$x-y$または$y-x$は整数なので、$9(x-y)$または$9(y-x)$は9の倍数である。

したがって、2けたの自然数とその数の一の位の数と十の位の数を入れかえた数の差は、9の倍数になる。