座標空間における3点 $A(0, -1, 2)$, $B(-1, 0, 5)$, $C(1, 1, 3)$ が定める平面を $\alpha$ とする。原点 $O$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線を $OH$ とする。 (1) $\triangle ABC$ の面積を求める。 (2) $\overrightarrow{AH} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ を満たす $s, t$ を求める。 (3) 点 $H$ の座標を求める。 (4) 四面体 $OABC$ の体積を求める。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

座標空間における3点 $A(0, -1, 2)$, $B(-1, 0, 5)$, $C(1, 1, 3)$ が定める平面を $\alpha$ とする。原点 $O$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線を $OH$ とする。

(1) $\triangle ABC$ の面積を求める。

(2) $\overrightarrow{AH} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ を満たす $s, t$ を求める。

(3) 点 $H$ の座標を求める。

(4) 四面体 $OABC$ の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \\ -1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$\triangle ABC$ の面積 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) $s, t$ の決定

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{OH}$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ かつ $\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$。

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ より、$\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s + t \\ -1 + s + 2t \\ 2 + 3s + t \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = (-s + t)(-1) + (-1 + s + 2t)(1) + (2 + 3s + t)(3) = 0$

$s - t - 1 + s + 2t + 6 + 9s + 3t = 0$

$11s + 4t + 5 = 0$

$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AC} = (-s + t)(1) + (-1 + s + 2t)(2) + (2 + 3s + t)(1) = 0$

$-s + t - 2 + 2s + 4t + 2 + 3s + t = 0$

$4s + 6t = 0$

$2s + 3t = 0$

$t = -\frac{2}{3}s$

$11s + 4(-\frac{2}{3}s) + 5 = 0$

$11s - \frac{8}{3}s + 5 = 0$

$\frac{33 - 8}{3}s = -5$

$\frac{25}{3}s = -5$

$s = -\frac{15}{25} = -\frac{3}{5}$

$t = -\frac{2}{3}(-\frac{3}{5}) = \frac{2}{5}$

(3) 点 $H$ の座標

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} -\frac{3}{5}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{2}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \\ -1 - \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \\ 2 - \frac{9}{5} + \frac{2}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix}$

$H(1, -\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(4) 四面体 $OABC$ の体積

四面体 $OABC$ の体積 $V = \frac{1}{6} |\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC})|$

$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 - 5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \\ -1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-5) + (-1) \cdot 8 + 2 \cdot (-1) = -8 - 2 = -10$

$V = \frac{1}{6} |-10| = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) $s = -\frac{3}{5}$, $t = \frac{2}{5}$

(3) $H(1, -\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(4) $\frac{5}{3}$