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実数 $\alpha, \beta$ が $|\alpha| > |\beta|$ を満たすとき、行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -\alpha\beta \\ 1 & \alpha+\beta \end{pmatrix}$ について、次の問いに答える。 (1) $A$ の固有値が $\alpha$ と $\beta$ であることを示す。 (2) $A$ の固有ベクトルを $\alpha$ と $\beta$ の式で表す。 (3) $P^{-1}AP$ を対角行列にする正則行列 $P$ を 1 つだけ求め、$\alpha$ と $\beta$ の式で表す。 (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\alpha^n} A^n$ を $\alpha$ と $\beta$ の式で表す。ただし、$n$ は自然数である。

代数学線形代数固有値固有ベクトル行列の対角化極限
2025/8/16

1. 問題の内容

実数 α,β\alpha, \beta が ∣α∣>∣β∣|\alpha| > |\beta| を満たすとき、行列 A=(0−αβ1α+β)A = \begin{pmatrix} 0 & -\alpha\beta \\ 1 & \alpha+\beta \end{pmatrix} について、次の問いに答える。
(1) AA の固有値が α\alpha と β\beta であることを示す。
(2) AA の固有ベクトルを α\alpha と β\beta の式で表す。
(3) P−1APP^{-1}AP を対角行列にする正則行列 PP を 1 つだけ求め、α\alpha と β\beta の式で表す。
(4) lim⁡n→∞1αnAn\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\alpha^n} A^n を α\alpha と β\beta の式で表す。ただし、nn は自然数である。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。
AA の固有多項式は、
\begin{align*}
\det(A - \lambda I) &= \det \begin{pmatrix} -\lambda & -\alpha\beta \\ 1 & \alpha+\beta - \lambda \end{pmatrix} \\
&= -\lambda (\alpha+\beta - \lambda) - (-\alpha\beta) \\
&= -\lambda\alpha - \lambda\beta + \lambda^2 + \alpha\beta \\
&= \lambda^2 - (\alpha+\beta)\lambda + \alpha\beta \\
&= (\lambda - \alpha)(\lambda - \beta)
\end{align*}
したがって、固有値は λ=α,β\lambda = \alpha, \beta である。
(2) 固有ベクトルを求める。
固有値 α\alpha に対する固有ベクトル v⃗=(xy)\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} は、 (A−αI)v⃗=0⃗(A - \alpha I)\vec{v} = \vec{0} を満たす。
\begin{align*}
A - \alpha I &= \begin{pmatrix} -\alpha & -\alpha\beta \\ 1 & \beta \end{pmatrix}
\end{align*}
したがって、 −αx−αβy=0-\alpha x - \alpha\beta y = 0 より、 x=−βyx = -\beta y。 よって、固有ベクトルは v⃗α=(−β1)\vec{v}_{\alpha} = \begin{pmatrix} -\beta \\ 1 \end{pmatrix} の定数倍。
固有値 β\beta に対する固有ベクトル v⃗=(xy)\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} は、 (A−βI)v⃗=0⃗(A - \beta I)\vec{v} = \vec{0} を満たす。
\begin{align*}
A - \beta I &= \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha\beta \\ 1 & \alpha \end{pmatrix}
\end{align*}
したがって、 −βx−αβy=0-\beta x - \alpha\beta y = 0 より、 x=−αyx = -\alpha y。 よって、固有ベクトルは v⃗β=(−α1)\vec{v}_{\beta} = \begin{pmatrix} -\alpha \\ 1 \end{pmatrix} の定数倍。
(3) PP を求める。
P=(−β−α11)P = \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha \\ 1 & 1 \end{pmatrix} とすると、P−1AP=(α00β)P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} となる。
PP は正則である。
P−1=1−β+α(1α−1−β)=1α−β(1α−1−β)P^{-1} = \frac{1}{-\beta + \alpha} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ -1 & -\beta \end{pmatrix} = \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ -1 & -\beta \end{pmatrix}
(4) lim⁡n→∞1αnAn\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\alpha^n} A^n を求める。
A=PDP−1A = PDP^{-1} となるので、An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}
\begin{align*}
A^n &= \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{pmatrix} \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ -1 & -\beta \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} -\beta\alpha^n & -\alpha\beta^n \\ \alpha^n & \beta^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ -1 & -\beta \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} -\beta\alpha^n + \alpha\beta^n & -\beta\alpha^{n+1} + \alpha\beta^{n+1} \\ \alpha^n - \beta^n & \alpha^{n+1} - \beta^{n+1} \end{pmatrix}
\end{align*}
1αnAn=1α−β(−β+α(β/α)n−βα+α(β/α)n+11−(β/α)nα−(β/α)βn)\frac{1}{\alpha^n} A^n = \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} -\beta + \alpha (\beta/\alpha)^n & -\beta\alpha + \alpha (\beta/\alpha)^{n+1} \\ 1 - (\beta/\alpha)^n & \alpha - (\beta/\alpha) \beta^n \end{pmatrix}
∣α∣>∣β∣|\alpha| > |\beta| より、 lim⁡n→∞(β/α)n=0\lim_{n \to \infty} (\beta/\alpha)^n = 0
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\alpha^n} A^n &= \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} -\beta & -\beta\alpha \\ 1 & \alpha \end{pmatrix}
\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) AA の固有値は α\alpha と β\beta である。
(2) AA の固有値 α\alpha に対する固有ベクトルは (−β1)\begin{pmatrix} -\beta \\ 1 \end{pmatrix} の定数倍、固有値 β\beta に対する固有ベクトルは (−α1)\begin{pmatrix} -\alpha \\ 1 \end{pmatrix} の定数倍。
(3) P=(−β−α11)P = \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
(4) lim⁡n→∞1αnAn=1α−β(−β−αβ1α)\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\alpha^n} A^n = \frac{1}{\alpha-\beta} \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha\beta \\ 1 & \alpha \end{pmatrix}