与えられた条件を満たす2次関数のグラフの方程式を求める問題です。 (1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(-1, -2)$ と $(2, -47)$ を通る。 (2) $x$軸に接し、2点 $(1, 1)$ と $(4, 4)$ を通る。 (3) 3点 $(-1, -3)$, $(1, 5)$, $(2, 3)$ を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数のグラフの方程式を求める問題です。

(1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(-1, -2)$ と $(2, -47)$ を通る。

(2) $x$軸に接し、2点 $(1, 1)$ と $(4, 4)$ を通る。

(3) 3点 $(-1, -3)$, $(1, 5)$, $(2, 3)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x = -2$ であることから、2次関数は $y = a(x + 2)^2 + q$ の形に表せます。2点 $(-1, -2)$ と $(2, -47)$ を通るので、これを代入して $a$ と $q$ を求めます。

$(-1, -2)$ を代入すると、$-2 = a(-1 + 2)^2 + q = a + q$。

$(2, -47)$ を代入すると、$-47 = a(2 + 2)^2 + q = 16a + q$。

この連立方程式を解きます。

$a + q = -2$

$16a + q = -47$

下の式から上の式を引くと、 $15a = -45$。したがって、$a = -3$。

$q = -2 - a = -2 - (-3) = 1$。

よって、2次関数は $y = -3(x + 2)^2 + 1$ です。展開して整理すると、$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 1 = -3x^2 - 12x - 12 + 1 = -3x^2 - 12x - 11$。

(2) $x$軸に接するので、2次関数は $y = a(x - p)^2$ の形に表せます。2点 $(1, 1)$ と $(4, 4)$ を通るので、これを代入して $a$ と $p$ を求めます。

$(1, 1)$ を代入すると、$1 = a(1 - p)^2$。

$(4, 4)$ を代入すると、$4 = a(4 - p)^2$。

$a = \frac{1}{(1-p)^2}$ を $4 = a(4 - p)^2$ に代入すると、$4 = \frac{(4 - p)^2}{(1-p)^2}$。

$4(1 - p)^2 = (4 - p)^2$。

$2(1 - p) = \pm (4 - p)$。

$2 - 2p = 4 - p$ または $2 - 2p = -4 + p$。

$-2 = p$ または $6 = 3p$ より $p = 2$。

$p = -2$ のとき、$a = \frac{1}{(1 - (-2))^2} = \frac{1}{9}$。このとき、$y = \frac{1}{9}(x + 2)^2 = \frac{1}{9}(x^2 + 4x + 4) = \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}$。

$p = 2$ のとき、$a = \frac{1}{(1 - 2)^2} = 1$。このとき、$y = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$。

(3) 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とします。3点 $(-1, -3)$, $(1, 5)$, $(2, 3)$ を通るので、これを代入して $a$, $b$, $c$ を求めます。

$(-1, -3)$ を代入すると、$-3 = a - b + c$。

$(1, 5)$ を代入すると、$5 = a + b + c$。

$(2, 3)$ を代入すると、$3 = 4a + 2b + c$。

$a - b + c = -3$

$a + b + c = 5$

$4a + 2b + c = 3$

上の2式を足すと、$2a + 2c = 2$。よって、$a + c = 1$。

2番目の式から1番目の式を引くと、$2b = 8$。よって、$b = 4$。

3番目の式から2番目の式を引くと、$3a + b = -2$。よって、$3a + 4 = -2$。$3a = -6$ より $a = -2$。

$a + c = 1$ より $c = 1 - a = 1 - (-2) = 3$。

よって、$y = -2x^2 + 4x + 3$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 - 12x - 11$

(2) $y = \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}$ または $y = x^2 - 4x + 4$

(3) $y = -2x^2 + 4x + 3$