等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{100} = 9009$, $S_{200} = 36036$ であるとき、$\{a_n\}$ の公比を $r$ とすると、$r^{100}$ の値と、$S_{300}$ の値を求めよ。

代数学数列等比数列等比数列の和
2025/8/17

1. 問題の内容

等比数列 {an}\{a_n\} の初項から第 nn 項までの和を SnS_n とする。S100=9009S_{100} = 9009, S200=36036S_{200} = 36036 であるとき、{an}\{a_n\} の公比を rr とすると、r100r^{100} の値と、S300S_{300} の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を用いる。初項を aa とすると、
Sn=a(1rn)1rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
が成り立つ。
S100=a(1r100)1r=9009S_{100} = \frac{a(1-r^{100})}{1-r} = 9009 ...(1)
S200=a(1r200)1r=36036S_{200} = \frac{a(1-r^{200})}{1-r} = 36036 ...(2)
(2)を(1)で割ると、
1r2001r100=360369009=4\frac{1-r^{200}}{1-r^{100}} = \frac{36036}{9009} = 4
1r200=4(1r100)1-r^{200} = 4(1-r^{100})
1(r100)2=44r1001 - (r^{100})^2 = 4 - 4r^{100}
(r100)24r100+3=0(r^{100})^2 - 4r^{100} + 3 = 0
(r1001)(r1003)=0(r^{100} - 1)(r^{100} - 3) = 0
r100=1r^{100} = 1 または r100=3r^{100} = 3
もし、r100=1r^{100} = 1 だとすると、S100=a(11)1r=0S_{100} = \frac{a(1-1)}{1-r} = 0 となり、S100=9009S_{100} = 9009 に矛盾する。
したがって、r100=3r^{100} = 3
S300=a(1r300)1r=a(1(r100)3)1r=a(133)1r=a(127)1r=a(26)1rS_{300} = \frac{a(1-r^{300})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{100})^3)}{1-r} = \frac{a(1-3^3)}{1-r} = \frac{a(1-27)}{1-r} = \frac{a(-26)}{1-r}
S300=a(1r300)1r=S1001r3001r100=900913313=900912713=9009262=900913=117117S_{300} = \frac{a(1-r^{300})}{1-r} = S_{100} \cdot \frac{1-r^{300}}{1-r^{100}} = 9009 \cdot \frac{1-3^3}{1-3} = 9009 \cdot \frac{1-27}{1-3} = 9009 \cdot \frac{-26}{-2} = 9009 \cdot 13 = 117117

3. 最終的な答え

r100=3r^{100} = 3
S300=117117S_{300} = 117117