初項1、公比5の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第n項までの和が $10^{100}$ 以上になる最小の $n$ を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ を用います。

1. 問題の内容

初項1、公比5の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第n項までの和が $10^{100}$ 以上になる最小の $n$ を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ を用います。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を適用します。

数列 $\{a_n\}$ の初項は1、公比は5なので、初項から第n項までの和 $S_n$ は次のようになります。

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5-1} = \frac{5^n - 1}{4}$

問題文より、$S_n \ge 10^{100}$ なので、

$\frac{5^n - 1}{4} \ge 10^{100}$

$5^n - 1 \ge 4 \cdot 10^{100}$

$5^n \ge 4 \cdot 10^{100} + 1$

$4 \cdot 10^{100}$ は非常に大きな数なので、1を足してもほぼ変わりません。したがって、$5^n \ge 4 \cdot 10^{100}$ と近似できます。

$5^n \ge 4 \cdot 10^{100}$

両辺の常用対数をとると、

$log_{10}5^n \ge log_{10}(4 \cdot 10^{100})$

$n \cdot log_{10}5 \ge log_{10}4 + log_{10}10^{100}$

$n \cdot log_{10}5 \ge log_{10}2^2 + 100$

$n \cdot log_{10}5 \ge 2log_{10}2 + 100$

$log_{10}5 = log_{10}(\frac{10}{2}) = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

与えられた $log_{10}2 = 0.3010$ を代入します。

$n \cdot 0.6990 \ge 2 \cdot 0.3010 + 100$

$n \cdot 0.6990 \ge 0.6020 + 100$

$n \cdot 0.6990 \ge 100.6020$

$n \ge \frac{100.6020}{0.6990} \approx 143.9227$

$n$ は整数なので、$n \ge 144$ となります。

3. 最終的な答え

144