異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順に等差数列をなし、$a, c, b$ の順に等比数列をなす。$a=4$ のとき、$c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順に等差数列をなし、$a, c, b$ の順に等比数列をなす。$a=4$ のとき、$c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 等差数列の性質を利用する。

$a, b, c$ が等差数列であることから、

$2b = a + c$

が成り立つ。

ステップ2: 等比数列の性質を利用する。

$a, c, b$ が等比数列であることから、

$c^2 = ab$

が成り立つ。

ステップ3: $a=4$ を代入する。

ステップ1の式に $a=4$ を代入すると、

$2b = 4 + c$

$b = \frac{4+c}{2}$

ステップ2の式に $a=4$ を代入すると、

$c^2 = 4b$

ステップ4: $b$ を消去する。

$b = \frac{4+c}{2}$ を $c^2 = 4b$ に代入すると、

$c^2 = 4(\frac{4+c}{2})$

$c^2 = 2(4+c)$

$c^2 = 8 + 2c$

$c^2 - 2c - 8 = 0$

ステップ5: $c$ についての二次方程式を解く。

$c^2 - 2c - 8 = 0$ を因数分解すると、

$(c - 4)(c + 2) = 0$

したがって、$c = 4$ または $c = -2$

ステップ6: 条件を満たすか確認する。

$c=4$ のとき、$b = \frac{4+4}{2} = 4$ となり、$a, b, c$ が異なるという条件を満たさない。

$c=-2$ のとき、$b = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$a=4, b=1, c=-2$ は異なる実数である。

また、4, 1, -2 は等差数列をなし、4, -2, 1 は等比数列をなす。

3. 最終的な答え

$c = -2$