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## 問題の解答

代数学数列Σ記号級数和
2025/8/17
## 問題の解答
以下に、提示された数学の問題の解答を示します。
### (1) 問題の内容
nnが自然数のとき、以下の和を求めよ。
1⋅2+2⋅3+3⋅4+4⋅5+⋯+n(n+1)1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)
### (2) 解き方の手順
この和は、∑k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1) と表すことができます。
まず、k(k+1)=k2+kk(k+1) = k^2 + k であることを利用します。
したがって、
∑k=1nk(k+1)=∑k=1n(k2+k)=∑k=1nk2+∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k
ここで、∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} と ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} を用いると、
∑k=1nk(k+1)=n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)6=n(n+1)(2n+1+3)6=n(n+1)(2n+4)6=2n(n+1)(n+2)6=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
### (3) 最終的な答え
n(n+1)(n+2)3\frac{n(n+1)(n+2)}{3}
---
### (1) 問題の内容
nnが2以上の自然数のとき、以下の和を求めよ。
1⋅(n−1)+2⋅(n−2)+3⋅(n−3)+⋯+(n−1)⋅11 \cdot (n-1) + 2 \cdot (n-2) + 3 \cdot (n-3) + \dots + (n-1) \cdot 1
### (2) 解き方の手順
この和は、∑k=1n−1k(n−k)\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)と表すことができる。
まず、k(n−k)=nk−k2k(n-k) = nk - k^2であることを利用します。
したがって、
∑k=1n−1k(n−k)=∑k=1n−1(nk−k2)=n∑k=1n−1k−∑k=1n−1k2\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) = \sum_{k=1}^{n-1} (nk - k^2) = n \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2
ここで、∑k=1n−1k=(n−1)n2\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} と ∑k=1n−1k2=(n−1)n(2(n−1)+1)6=(n−1)n(2n−1)6\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} を用いると、
n∑k=1n−1k−∑k=1n−1k2=n⋅(n−1)n2−(n−1)n(2n−1)6=3n2(n−1)−(n−1)n(2n−1)6=n(n−1)(3n−(2n−1))6=n(n−1)(n+1)6=n(n2−1)6n \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = n \cdot \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{3n^2(n-1) - (n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(3n - (2n-1))}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6} = \frac{n(n^2-1)}{6}
### (3) 最終的な答え
n(n2−1)6\frac{n(n^2-1)}{6}
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### (1) 問題の内容
nnが自然数のとき、以下の和を求めよ。
32⋅5+35⋅8+38⋅11+⋯+3(3n−1)(3n+2)\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}
### (2) 解き方の手順
この和は、∑k=1n3(3k−1)(3k+2)\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(3k-1)(3k+2)} と表すことができる。
部分分数分解を用いると、3(3k−1)(3k+2)=13k−1−13k+2\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}となる。
したがって、
∑k=1n3(3k−1)(3k+2)=∑k=1n(13k−1−13k+2)\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2})
=(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)= (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})
=12−13n+2= \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} (telescoping sum)
=3n+2−22(3n+2)=3n2(3n+2)= \frac{3n+2 - 2}{2(3n+2)} = \frac{3n}{2(3n+2)}
### (3) 最終的な答え
3n2(3n+2)\frac{3n}{2(3n+2)}
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### (1) 問題の内容
nnが自然数のとき、以下の和を求めよ。
1⋅1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n−11 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}
### (2) 解き方の手順
S=∑k=1nk⋅2k−1=1⋅1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n−1S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}
両辺に2を掛けると、
2S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^{n}
S−2S=1⋅1+(2⋅2−1⋅2)+(3⋅22−2⋅22)+⋯+(n⋅2n−1−(n−1)⋅2n−1)−n⋅2nS - 2S = 1 \cdot 1 + (2 \cdot 2 - 1 \cdot 2) + (3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^2) + \dots + (n \cdot 2^{n-1} - (n-1) \cdot 2^{n-1}) - n \cdot 2^{n}
−S=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n-S = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^{n}
−S=∑k=0n−12k−n⋅2n-S = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k - n \cdot 2^{n}
−S=1(2n−1)2−1−n⋅2n-S = \frac{1(2^n-1)}{2-1} - n \cdot 2^{n}
−S=2n−1−n⋅2n-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^{n}
S=n⋅2n−2n+1S = n \cdot 2^{n} - 2^n + 1
S=(n−1)2n+1S = (n-1)2^n + 1
### (3) 最終的な答え
(n−1)2n+1(n-1)2^n + 1