$a$ を定数とする。放物線 $y = x^2 - 2ax + 2a^2 + 3a - 2$ について、次の問いに答えよ。 (1) 頂点の座標を $a$ で表せ。 (2) $a$ がすべての実数値をとり変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。放物線 $y = x^2 - 2ax + 2a^2 + 3a - 2$ について、次の問いに答えよ。

(1) 頂点の座標を $a$ で表せ。

(2) $a$ がすべての実数値をとり変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた放物線の式を平方完成し、頂点の座標を $a$ を用いて表します。

$y = x^2 - 2ax + 2a^2 + 3a - 2$

$y = (x - a)^2 - a^2 + 2a^2 + 3a - 2$

$y = (x - a)^2 + a^2 + 3a - 2$

したがって、頂点の座標は $(a, a^2 + 3a - 2)$ となります。

(2) 頂点の座標を $(x, y)$ とすると、

$x = a$

$y = a^2 + 3a - 2$

$a$ がすべての実数値をとり変化するので、$x$ もすべての実数値をとりえます。

$y = x^2 + 3x - 2$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 2$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$

これは放物線を表し、$x$ はすべての実数値をとるので、頂点の軌跡は放物線全体です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(a, a^2 + 3a - 2)$

(2) 頂点の軌跡: $y = x^2 + 3x - 2$