2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 4 = 0$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 2つの解がともに正であるための実数 $a$ の範囲を求めます。 (2) 2つの解がともに2より小さくなるための実数 $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 4 = 0$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 2つの解がともに正であるための実数 $a$ の範囲を求めます。

(2) 2つの解がともに2より小さくなるための実数 $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの解がともに正である条件

2次方程式の解を $\alpha$ と $\beta$ とします。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a$

$\alpha \beta = a^2 - 4$

2つの解がともに正であるためには、以下の3つの条件が必要です。

i) 判別式 $D \ge 0$

ii) $\alpha + \beta > 0$

iii) $\alpha \beta > 0$

i) $D = (-a)^2 - 4(a^2 - 4) = a^2 - 4a^2 + 16 = -3a^2 + 16 \ge 0$

$3a^2 \le 16$

$a^2 \le \frac{16}{3}$

$-\frac{4}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{4}{\sqrt{3}}$

ii) $\alpha + \beta = a > 0$

iii) $\alpha \beta = a^2 - 4 > 0$

$a^2 > 4$

$a < -2$ または $a > 2$

i), ii), iii) の共通範囲を求めます。

$2 < a \le \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2) 2つの解がともに2より小さくなる条件

$x^2 - ax + a^2 - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とします。

$\alpha < 2$ かつ $\beta < 2$

$y = x^2 - ax + a^2 - 4$ とおくと、以下の条件が必要です。

i) 判別式 $D \ge 0$

ii) $f(2) > 0$

iii) 軸 < 2

i) $D \ge 0$ は (1) と同じで、 $-\frac{4}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{4}{\sqrt{3}}$

ii) $f(2) = 2^2 - 2a + a^2 - 4 = 4 - 2a + a^2 - 4 = a^2 - 2a > 0$

$a(a-2) > 0$

$a < 0$ または $a > 2$

iii) 軸は $x = \frac{a}{2} < 2$ より、 $a < 4$

i), ii), iii) の共通範囲を求めます。

$-\frac{4}{\sqrt{3}} \le a < 0$ または $2 < a \le \frac{4}{\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

(1) $2 < a \le \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2) $-\frac{4\sqrt{3}}{3} \le a < 0$ または $2 < a \le \frac{4\sqrt{3}}{3}$