2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

## 問題7

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるためには、以下の2つの条件が必要となる。

* $a < 0$ (上に凸な放物線)

* 判別式 $D < 0$ (放物線が $x$ 軸と交わらない)

まず、$a < 0$ である必要がある。

次に、判別式 $D$ を計算する。

$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 4a = 4 - 16a^2$

$D < 0$ となる条件を求める。

$4 - 16a^2 < 0$

$16a^2 > 4$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

$a < 0$ の条件と $a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$ の条件を満たすのは、$a < -\frac{1}{2}$ のときである。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{2}$

## 問題8

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + bx + 4 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

$ax^2 + bx + 4 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であるということは、$ax^2 + bx + 4 = 0$ の解が $x = -1$ と $x = 2$ であることを意味する。

したがって、$-1$ と $2$ を解に持つ2次方程式は $a(x + 1)(x - 2) = 0$ と表される。

ただし、$a < 0$ である必要がある（不等号の向きを考慮）。

$a(x + 1)(x - 2) = a(x^2 - x - 2) = ax^2 - ax - 2a = 0$

この式と $ax^2 + bx + 4 = 0$ の係数を比較する。

$ax^2$ の係数は一致している。

$x$ の係数を比較すると、$b = -a$

定数項を比較すると、$4 = -2a$

$4 = -2a$ より、 $a = -2$

$b = -a$ より、$b = -(-2) = 2$

$a = -2 < 0$ なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 2$