次の2つの方程式がともに実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ $x^2 + 2ax + 2a = 0$

## 問題9

1. 問題の内容

次の2つの方程式がともに実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$

$x^2 + 2ax + 2a = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つための判別式 $D \geq 0$ を利用します。

* 1つ目の2次方程式 $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ について

判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (a+1)^2 - 4a^2 = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 \geq 0$

$3a^2 - 2a - 1 \leq 0$

$(3a+1)(a-1) \leq 0$

よって、 $-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

* 2つ目の2次方程式 $x^2 + 2ax + 2a = 0$ について

判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (2a)^2 - 4(2a) = 4a^2 - 8a \geq 0$

$4a(a-2) \geq 0$

よって、$a \leq 0$ または $a \geq 2$

* 両方の条件を満たす $a$ の範囲を求める。

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$ と $a \leq 0$ または $a \geq 2$ を同時に満たす $a$ の範囲は $-\frac{1}{3} \leq a \leq 0$。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 0$

## 問題10

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正であるように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ の $y$ の値が常に正であるということは、グラフが常に $x$ 軸より上にあることを意味します。これは、下に凸な放物線であることから、判別式が $D < 0$ であれば条件を満たします。

$y = x^2 - 2ax + a$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a) = 4a^2 - 4a < 0$

$4a(a - 1) < 0$

$a(a-1) < 0$

よって、$0 < a < 1$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$

## 問題11

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + m(1-m)$ について、$0 \leq x \leq 3$ の範囲で $y$ の値が常に負となるように、定数 $m$ の値の範囲を定めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2x + m(1-m)$ とおく。$0 \leq x \leq 3$ で常に $f(x) < 0$ となる条件を求める。

* $f(x) = (x-1)^2 - 1 + m - m^2$ より、軸は $x = 1$。

* $f(0) < 0$ かつ $f(3) < 0$ ならば、この範囲で常に負になる可能性が高い。

* ただし、$1$が範囲に含まれるので、頂点の$y$座標が負である必要がある。

$f(0) = m(1-m) < 0$ より $m(m-1) > 0$ より $m<0$ または $m>1$

$f(3) = 3^2 - 2*3 + m(1-m) = 9 - 6 + m - m^2 = 3 + m - m^2 < 0$ より

$m^2 - m - 3 > 0$ より、$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ より、$m < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ または $m > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

頂点の $y$ 座標は $-1 + m - m^2 < 0$ より $m^2 - m + 1 > 0$

判別式 $D = 1 - 4 < 0$ より、常に $m^2 - m + 1 > 0$ が成立する。

$m<0$ または $m>1$　かつ　$m < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ または $m > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

$m < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ または $m > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

ここで$\sqrt{13} \fallingdotseq 3.6056$ なので、$\frac{1-\sqrt{13}}{2} \fallingdotseq -1.3$、$\frac{1+\sqrt{13}}{2} \fallingdotseq 2.3$

$m<0$または$m>1$ より

$m<\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ または $m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

$m < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ または $m > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$