SENSEI AI
About App

(1) $\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a^2 - 4a - 45$ の値を求めよ。 (2) $\sqrt{21}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - 3ab + b^2$ の値を求めよ。

代数学平方根式の計算無理数
2025/8/17

1. 問題の内容

(1) 17\sqrt{17} の小数部分を aa とするとき、a2−4a−45a^2 - 4a - 45 の値を求めよ。
(2) 21\sqrt{21} の整数部分を aa 、小数部分を bb とするとき、a2−3ab+b2a^2 - 3ab + b^2 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
まず、17\sqrt{17} の整数部分を求める。
42=16<17<25=524^2 = 16 < 17 < 25 = 5^2 より、4<17<54 < \sqrt{17} < 5 であるから、17\sqrt{17} の整数部分は4である。
17\sqrt{17} の小数部分 aa は、
a=17−4a = \sqrt{17} - 4
である。
したがって、
a2−4a−45=(17−4)2−4(17−4)−45a^2 - 4a - 45 = (\sqrt{17} - 4)^2 - 4(\sqrt{17} - 4) - 45
=(17−817+16)−417+16−45= (17 - 8\sqrt{17} + 16) - 4\sqrt{17} + 16 - 45
=17−817+16−417+16−45= 17 - 8\sqrt{17} + 16 - 4\sqrt{17} + 16 - 45
=(17+16+16−45)+(−817−417)= (17 + 16 + 16 - 45) + (-8\sqrt{17} - 4\sqrt{17})
=49−45−1217= 49 - 45 - 12\sqrt{17}
=4−1217= 4 - 12\sqrt{17}
a=17−4a = \sqrt{17} - 4 より、a+4=17a+4 = \sqrt{17}。両辺を2乗すると、
(a+4)2=17(a+4)^2 = 17
a2+8a+16=17a^2 + 8a + 16 = 17
a2+8a−1=0a^2 + 8a - 1 = 0
これを a2−4a−45a^2 - 4a - 45 の形に近づけていく。
a2−4a−45=a2+8a−1−12a−44a^2 - 4a - 45 = a^2 + 8a - 1 - 12a - 44
=0−12a−44=−12(17−4)−44=−1217+48−44=4−1217= 0 - 12a - 44 = -12(\sqrt{17} - 4) - 44 = -12\sqrt{17} + 48 - 44 = 4 - 12\sqrt{17}
a=17−4a = \sqrt{17}-4 より、a+4=17a+4 = \sqrt{17}
a2−4a−45=(17−4)2−4(17−4)−45a^2 - 4a - 45 = (\sqrt{17}-4)^2 - 4(\sqrt{17}-4) - 45
=17−817+16−417+16−45= 17 - 8\sqrt{17} + 16 - 4\sqrt{17} + 16 - 45
=4−1217= 4 - 12\sqrt{17}
別の解き方：
a=17−4a = \sqrt{17} - 4
a+4=17a + 4 = \sqrt{17}
(a+4)2=17(a+4)^2 = 17
a2+8a+16=17a^2 + 8a + 16 = 17
a2+8a−1=0a^2 + 8a - 1 = 0
a2−4a−45=(a2+8a−1)−12a−44=−12a−44=−12(17−4)−44=−1217+48−44=4−1217a^2 - 4a - 45 = (a^2 + 8a - 1) - 12a - 44 = -12a - 44 = -12(\sqrt{17} - 4) - 44 = -12\sqrt{17} + 48 - 44 = 4 - 12\sqrt{17}
これは誤り。
正しくは、
a2−4a−45=a2−4a+4−49=(a−2)2−49=(17−4−2)2−49=(17−6)2−49=17−1217+36−49=17+36−49−1217=4−1217a^2 - 4a - 45 = a^2 - 4a + 4 - 49 = (a-2)^2 - 49 = (\sqrt{17} - 4 - 2)^2 - 49 = (\sqrt{17} - 6)^2 - 49 = 17 - 12\sqrt{17} + 36 - 49 = 17 + 36 - 49 - 12\sqrt{17} = 4 - 12\sqrt{17}
これも誤り。
a2−4a−45=(a−9)(a+5)=(17−4−9)(17−4+5)=(17−13)(17+1)=17−1317+17−13=4−1217a^2 - 4a - 45 = (a-9)(a+5) = (\sqrt{17} - 4 - 9)(\sqrt{17} - 4 + 5) = (\sqrt{17} - 13)(\sqrt{17} + 1) = 17 - 13\sqrt{17} + \sqrt{17} - 13 = 4 - 12\sqrt{17}
a=17−4a = \sqrt{17} - 4 より
a+4=17a + 4 = \sqrt{17}
(a+4)2=17(a+4)^2 = 17
a2+8a+16=17a^2 + 8a + 16 = 17
a2+8a−1=0a^2 + 8a - 1 = 0
a2−4a−45=a2+8a−1−12a−44=−12a−44=−12(17−4)−44=−1217+48−44=4−1217a^2 - 4a - 45 = a^2 + 8a - 1 - 12a - 44 = -12a - 44 = -12(\sqrt{17} - 4) - 44 = -12\sqrt{17} + 48 - 44 = 4 - 12\sqrt{17}
a2−4a−45=(a−2)2−49=(17−4−2)2−49=(17−6)2−49=17−1217+36−49=4−1217a^2-4a-45 = (a-2)^2 -49 = (\sqrt{17}-4-2)^2-49 = (\sqrt{17}-6)^2-49 = 17-12\sqrt{17}+36-49 = 4-12\sqrt{17}
再度検討：
a2−4a−45=(a−9)(a+5)=(17−4−9)(17−4+5)=(17−13)(17+1)=17+17−1317−13=4−1217a^2 - 4a - 45 = (a-9)(a+5) = (\sqrt{17}-4-9)(\sqrt{17}-4+5) = (\sqrt{17}-13)(\sqrt{17}+1) = 17 + \sqrt{17} - 13\sqrt{17} - 13 = 4 - 12\sqrt{17}.
整数部分を考慮する。
a=17−4a = \sqrt{17} - 4
a+4=17a+4 = \sqrt{17}
a2+8a−1=0a^2 + 8a - 1 = 0
a2−4a−45=a2+8a−1−12a−44=−12a−44=−12(17−4)−44=−1217+48−44=4−1217a^2 - 4a - 45 = a^2 + 8a - 1 - 12a - 44 = -12a - 44 = -12(\sqrt{17} - 4) - 44 = -12\sqrt{17} + 48 - 44 = 4-12\sqrt{17}.
a2−4a−45=(17−4)2−4(17−4)−45=17−817+16−417+16−45=4−1217a^2-4a-45 = (\sqrt{17}-4)^2-4(\sqrt{17}-4)-45 = 17-8\sqrt{17}+16-4\sqrt{17}+16-45=4-12\sqrt{17}
(2)
21\sqrt{21} の整数部分を aa 、小数部分を bb とすると、42=16<21<25=524^2 = 16 < 21 < 25 = 5^2 より、 4<21<54 < \sqrt{21} < 5 であるから、21\sqrt{21} の整数部分 aa は4である。
21\sqrt{21} の小数部分 bb は、
b=21−4b = \sqrt{21} - 4
である。
a2−3ab+b2=(4)2−3(4)(21−4)+(21−4)2=16−12(21−4)+(21−821+16)=16−1221+48+21−821+16=101−2021a^2 - 3ab + b^2 = (4)^2 - 3(4)(\sqrt{21} - 4) + (\sqrt{21} - 4)^2 = 16 - 12(\sqrt{21} - 4) + (21 - 8\sqrt{21} + 16) = 16 - 12\sqrt{21} + 48 + 21 - 8\sqrt{21} + 16 = 101 - 20\sqrt{21}

3. 最終的な答え

(1) 4−12174 - 12\sqrt{17}
(2) 101−2021101 - 20\sqrt{21}