平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上に点Eがあり、BE:EC = 2:1 である。AEとBDの交点をFとする。平行四辺形ABCDの面積をSとするとき、図の領域ア〜エの面積をSを用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上に点Eがあり、BE:EC = 2:1 である。AEとBDの交点をFとする。平行四辺形ABCDの面積をSとするとき、図の領域ア〜エの面積をSを用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積比を考えます。

BE:EC = 2:1なので、BC:BE = 3:2となり、BC:EC = 3:1となります。

平行四辺形ABCDの面積をSとすると、

$\triangle ABC = \triangle ACD = \frac{1}{2} S$

$\triangle ABE = \frac{2}{3} \triangle ABC = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} S = \frac{1}{3} S$

$\triangle ACE = \frac{1}{3} \triangle ABC = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} S = \frac{1}{6} S$

次に、$\triangle ABE$と$\triangle CDE$における線分比を求める。

$\triangle ABF$と$\triangle DEF$に着目する。

$AB // CD$より、$\triangle ABF \sim \triangle EDF$ である。

$AB:CD = 1:1$より、$BF:FD = AB:DE$。また、$EC = \frac{1}{2}BE$より、$DE = BE$。

$BE = \frac{2}{3}BC$ より、DE=BE。よってAB:DE = AB:BE = 1 : $\frac{2}{3} = 3:2$。

$BF:FD = AB:DE = 3:2$。

$\triangle AFD = \frac{2}{5} \triangle ABD = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} S = \frac{1}{5} S$

$\triangle ABF = \frac{3}{5} \triangle ABD = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} S = \frac{3}{10} S$

$\triangle BFE$について考える。

$BF:FD = 3:2$なので、$EF:AF$を考える。

$\triangle BCE$に着目すると、$BE:EC = 2:1$。

メネラウスの定理より、

$\frac{CD}{DA} \times \frac{AF}{FE} \times \frac{EB}{BC} = 1$

$\frac{AF}{FE} = \frac{DA}{CD} \times \frac{BC}{EB}$

$\frac{AF}{FE} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

$AF:FE = 3:2$

$\triangle BFE = \frac{2}{5} \triangle ABE = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} S = \frac{2}{15} S$

アの面積 = $\triangle ABF = \frac{3}{10}S$

イの面積 = $\triangle AFD = \frac{1}{5}S$

ウの面積 = $\triangle BFE = \frac{2}{15}S$

エの面積 = $\triangle CDE$の面積を考える。$EC = \frac{1}{3}BC$なので、$\triangle ACE = \frac{1}{6}S$である。

$\triangle DEF$を考える。$\triangle DEF = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times (AB/BE) = \frac{2}{5} \triangle ABD = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2}S = \frac{1}{5}S$

$\frac{ED}{BE} = \frac{DE}{2/3 BC}=1$

$\frac{\triangle CEF}{\triangle ABE} = (EC \times EF)/(BE \times AF)$

$\triangle CEF = (EC/BE) \times (EF/AE) \times \triangle ABE$

$\triangle CEF = (1/2) \times (2/5) \times (1/3) S = \frac{1}{15} S$

$\triangle EDC = \frac{1}{6} S$

面積ア+イ+ウ+エ = $\frac{3}{10} S + \frac{1}{5} S + \frac{2}{15} S + \frac{1}{15} S = (\frac{9+6+4+2}{30})S = \frac{21}{30}S = \frac{7}{10} S$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{30}S$